Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8083 / 9435
↖ ↑ ↗
← S 26.332807°
W  2.395020°		 ← 2 189.75 m → S 26.332807°
W  2.373047°		 →
↑
2 189.52 m
↓
↑
2 189.52 m
↓
S 26.352498°
W  2.395020°		 ← 2 189.37 m →
4 794 088 m²		 S 26.352498°
W  2.373047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493377685546875 y=0.575897216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493377685546875 × 214)
    floor (0.493377685546875 × 16384)
    floor (8083.5)     		tx = 8083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575897216796875 × 214)
    floor (0.575897216796875 × 16384)
    floor (9435.5)     		ty = 9435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8083 / 9435 ti = "14/8083/9435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8083/9435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8083 ÷ 214
    8083 ÷ 16384     		x = 0.49334716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9435 ÷ 214
    9435 ÷ 16384     		y = 0.57586669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49334716796875 × 2 - 1) × π
    -0.0133056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04180098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57586669921875 × 2 - 1) × π
    -0.1517333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.476684529821838
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04180098} λ = -0.04180098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.476684529821838))-π/2
    2×atan(0.620838354389593)-π/2
    2×0.555601072355291-π/2
    1.11120214471058-1.57079632675     		φ = -0.45959418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04180098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.395020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45959418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.332807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8083 KachelY 9435 -0.04180098 -0.45959418 -2.395020 -26.332807
    Oben rechts KachelX + 1 8084 KachelY 9435 -0.04141748 -0.45959418 -2.373047 -26.332807
    Unten links KachelX 8083 KachelY + 1 9436 -0.04180098 -0.45993785 -2.395020 -26.352498
    Unten rechts KachelX + 1 8084 KachelY + 1 9436 -0.04141748 -0.45993785 -2.373047 -26.352498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45959418--0.45993785) × R
    0.000343669999999963 × 6371000     		dl = 2189.52156999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45959418--0.45993785) × R
    0.000343669999999963 × 6371000     		dr = 2189.52156999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04180098--0.04141748) × cos(-0.45959418) × R
    0.000383500000000002 × 0.896232586755964 × 6371000     		do = 2189.74581022024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04180098--0.04141748) × cos(-0.45993785) × R
    0.000383500000000002 × 0.896080087169799 × 6371000     		du = 2189.37321126011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45959418)-sin(-0.45993785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896232586755964-0.896080087169799)×R²
    abs(-0.04141748--0.04180098)×0.000152499586164923×R²
    0.000383500000000002×0.000152499586164923×6371000²
    0.000383500000000002×0.000152499586164923×40589641000000     		ar = 4794087.82474924m²