Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80823 / 19481
↖ ↑ ↗
← N 77.451118°
E 41.986999°		 ← 66.36 m → N 77.451118°
E 41.989746°		 →
↑
66.32 m
↓
↑
66.32 m
↓
N 77.450522°
E 41.986999°		 ← 66.36 m →
4 401 m²		 N 77.450522°
E 41.989746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616634368896484 y=0.148632049560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616634368896484 × 217)
    floor (0.616634368896484 × 131072)
    floor (80823.5)     		tx = 80823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148632049560547 × 217)
    floor (0.148632049560547 × 131072)
    floor (19481.5)     		ty = 19481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80823 / 19481 ti = "17/80823/19481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80823/19481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80823 ÷ 217
    80823 ÷ 131072     		x = 0.616630554199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19481 ÷ 217
    19481 ÷ 131072     		y = 0.148628234863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616630554199219 × 2 - 1) × π
    0.233261108398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.73281138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148628234863281 × 2 - 1) × π
    0.702743530273438 × 3.1415926535     		Φ = 2.20773391200169
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73281138} λ = 0.73281138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20773391200169))-π/2
    2×atan(9.09508276516399)-π/2
    2×1.46128667509317-π/2
    2.92257335018633-1.57079632675     		φ = 1.35177702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73281138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.986999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35177702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.451118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80823 KachelY 19481 0.73281138 1.35177702 41.986999 77.451118
    Oben rechts KachelX + 1 80824 KachelY 19481 0.73285932 1.35177702 41.989746 77.451118
    Unten links KachelX 80823 KachelY + 1 19482 0.73281138 1.35176661 41.986999 77.450522
    Unten rechts KachelX + 1 80824 KachelY + 1 19482 0.73285932 1.35176661 41.989746 77.450522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35177702-1.35176661) × R
    1.04100000000162e-05 × 6371000     		dl = 66.3221100001035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35177702-1.35176661) × R
    1.04100000000162e-05 × 6371000     		dr = 66.3221100001035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73281138-0.73285932) × cos(1.35177702) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217272462294681 × 6371000     		do = 66.3606025779316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73281138-0.73285932) × cos(1.35176661) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21728262359838 × 6371000     		du = 66.3637061016331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35177702)-sin(1.35176661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217272462294681-0.21728262359838)×R²
    abs(0.73285932-0.73281138)×1.01613036987691e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01613036987691e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01613036987691e-05×40589641000000     		ar = 4401.27810009215m²