Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80822 / 19482
↖ ↑ ↗
← N 77.450522°
E 41.984253°		 ← 66.35 m → N 77.450522°
E 41.986999°		 →
↑
66.39 m
↓
↑
66.39 m
↓
N 77.449925°
E 41.984253°		 ← 66.35 m →
4 405 m²		 N 77.449925°
E 41.986999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616626739501953 y=0.148639678955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616626739501953 × 217)
    floor (0.616626739501953 × 131072)
    floor (80822.5)     		tx = 80822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148639678955078 × 217)
    floor (0.148639678955078 × 131072)
    floor (19482.5)     		ty = 19482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80822 / 19482 ti = "17/80822/19482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80822/19482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80822 ÷ 217
    80822 ÷ 131072     		x = 0.616622924804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19482 ÷ 217
    19482 ÷ 131072     		y = 0.148635864257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616622924804688 × 2 - 1) × π
    0.233245849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.73276345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148635864257812 × 2 - 1) × π
    0.702728271484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.20768597510207
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73276345} λ = 0.73276345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20768597510207))-π/2
    2×atan(9.09464678554428)-π/2
    2×1.4612814672873-π/2
    2.9225629345746-1.57079632675     		φ = 1.35176661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73276345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.984253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35176661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.450522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80822 KachelY 19482 0.73276345 1.35176661 41.984253 77.450522
    Oben rechts KachelX + 1 80823 KachelY 19482 0.73281138 1.35176661 41.986999 77.450522
    Unten links KachelX 80822 KachelY + 1 19483 0.73276345 1.35175619 41.984253 77.449925
    Unten rechts KachelX + 1 80823 KachelY + 1 19483 0.73281138 1.35175619 41.986999 77.449925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35176661-1.35175619) × R
    1.04200000001775e-05 × 6371000     		dl = 66.3858200011309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35176661-1.35175619) × R
    1.04200000001775e-05 × 6371000     		dr = 66.3858200011309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73276345-0.73281138) × cos(1.35176661) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.21728262359838 × 6371000     		do = 66.3498630257678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73276345-0.73281138) × cos(1.35175619) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217292794639597 × 6371000     		du = 66.3529688755611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35176661)-sin(1.35175619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21728262359838-0.217292794639597)×R²
    abs(0.73281138-0.73276345)×1.01710412171441e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01710412171441e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01710412171441e-05×40589641000000     		ar = 4404.79315606786m²