Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8081 / 9424
↖ ↑ ↗
← S 26.115986°
W  2.438965°		 ← 2 193.83 m → S 26.115986°
W  2.416992°		 →
↑
2 193.60 m
↓
↑
2 193.60 m
↓
S 26.135713°
W  2.438965°		 ← 2 193.46 m →
4 811 980 m²		 S 26.135713°
W  2.416992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493255615234375 y=0.575225830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493255615234375 × 214)
    floor (0.493255615234375 × 16384)
    floor (8081.5)     		tx = 8081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575225830078125 × 214)
    floor (0.575225830078125 × 16384)
    floor (9424.5)     		ty = 9424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8081 / 9424 ti = "14/8081/9424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8081/9424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8081 ÷ 214
    8081 ÷ 16384     		x = 0.49322509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9424 ÷ 214
    9424 ÷ 16384     		y = 0.5751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49322509765625 × 2 - 1) × π
    -0.0135498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04256797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5751953125 × 2 - 1) × π
    -0.150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.472466082655273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04256797} λ = -0.04256797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.472466082655273))-π/2
    2×atan(0.623462859963627)-π/2
    2×0.557493192502727-π/2
    1.11498638500545-1.57079632675     		φ = -0.45580994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04256797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.438965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45580994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.115986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8081 KachelY 9424 -0.04256797 -0.45580994 -2.438965 -26.115986
    Oben rechts KachelX + 1 8082 KachelY 9424 -0.04218447 -0.45580994 -2.416992 -26.115986
    Unten links KachelX 8081 KachelY + 1 9425 -0.04256797 -0.45615425 -2.438965 -26.135713
    Unten rechts KachelX + 1 8082 KachelY + 1 9425 -0.04218447 -0.45615425 -2.416992 -26.135713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45580994--0.45615425) × R
    0.000344309999999959 × 6371000     		dl = 2193.59900999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45580994--0.45615425) × R
    0.000344309999999959 × 6371000     		dr = 2193.59900999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04256797--0.04218447) × cos(-0.45580994) × R
    0.000383499999999995 × 0.897904795480173 × 6371000     		do = 2193.83148184358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04256797--0.04218447) × cos(-0.45615425) × R
    0.000383499999999995 × 0.897753180542083 × 6371000     		du = 2193.46104432506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45580994)-sin(-0.45615425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897904795480173-0.897753180542083)×R²
    abs(-0.04218447--0.04256797)×0.000151614938089795×R²
    0.000383499999999995×0.000151614938089795×6371000²
    0.000383499999999995×0.000151614938089795×40589641000000     		ar = 4811980.31852959m²