Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80804 / 19492
↖ ↑ ↗
← N 77.444552°
E 41.934814°		 ← 66.39 m → N 77.444552°
E 41.937561°		 →
↑
66.39 m
↓
↑
66.39 m
↓
N 77.443955°
E 41.934814°		 ← 66.40 m →
4 408 m²		 N 77.443955°
E 41.937561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616489410400391 y=0.148715972900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616489410400391 × 217)
    floor (0.616489410400391 × 131072)
    floor (80804.5)     		tx = 80804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148715972900391 × 217)
    floor (0.148715972900391 × 131072)
    floor (19492.5)     		ty = 19492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80804 / 19492 ti = "17/80804/19492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80804/19492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80804 ÷ 217
    80804 ÷ 131072     		x = 0.616485595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19492 ÷ 217
    19492 ÷ 131072     		y = 0.148712158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616485595703125 × 2 - 1) × π
    0.23297119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.73190058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148712158203125 × 2 - 1) × π
    0.70257568359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.20720660610587
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73190058} λ = 0.73190058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20720660610587))-π/2
    2×atan(9.09028813862746)-π/2
    2×1.46122937582402-π/2
    2.92245875164804-1.57079632675     		φ = 1.35166242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73190058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.934814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35166242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.444552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80804 KachelY 19492 0.73190058 1.35166242 41.934814 77.444552
    Oben rechts KachelX + 1 80805 KachelY 19492 0.73194852 1.35166242 41.937561 77.444552
    Unten links KachelX 80804 KachelY + 1 19493 0.73190058 1.35165200 41.934814 77.443955
    Unten rechts KachelX + 1 80805 KachelY + 1 19493 0.73194852 1.35165200 41.937561 77.443955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35166242-1.35165200) × R
    1.04199999999555e-05 × 6371000     		dl = 66.3858199997163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35166242-1.35165200) × R
    1.04199999999555e-05 × 6371000     		dr = 66.3858199997163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73190058-0.73194852) × cos(1.35166242) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217384323187877 × 6371000     		do = 66.394767774013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73190058-0.73194852) × cos(1.35165200) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217394493993138 × 6371000     		du = 66.3978741997363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35166242)-sin(1.35165200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217384323187877-0.217394493993138)×R²
    abs(0.73194852-0.73190058)×1.01708052611671e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01708052611671e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01708052611671e-05×40589641000000     		ar = 4407.77421381592m²