Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80803 / 19493
↖ ↑ ↗
← N 77.443955°
E 41.932068°		 ← 66.38 m → N 77.443955°
E 41.934814°		 →
↑
66.39 m
↓
↑
66.39 m
↓
N 77.443358°
E 41.932068°		 ← 66.39 m →
4 407 m²		 N 77.443358°
E 41.934814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616481781005859 y=0.148723602294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616481781005859 × 217)
    floor (0.616481781005859 × 131072)
    floor (80803.5)     		tx = 80803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148723602294922 × 217)
    floor (0.148723602294922 × 131072)
    floor (19493.5)     		ty = 19493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80803 / 19493 ti = "17/80803/19493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80803/19493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80803 ÷ 217
    80803 ÷ 131072     		x = 0.616477966308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19493 ÷ 217
    19493 ÷ 131072     		y = 0.148719787597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616477966308594 × 2 - 1) × π
    0.232955932617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.73185265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148719787597656 × 2 - 1) × π
    0.702560424804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.20715866920625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73185265} λ = 0.73185265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20715866920625))-π/2
    2×atan(9.08985238884177)-π/2
    2×1.46122416533699-π/2
    2.92244833067399-1.57079632675     		φ = 1.35165200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73185265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.932068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35165200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.443955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80803 KachelY 19493 0.73185265 1.35165200 41.932068 77.443955
    Oben rechts KachelX + 1 80804 KachelY 19493 0.73190058 1.35165200 41.934814 77.443955
    Unten links KachelX 80803 KachelY + 1 19494 0.73185265 1.35164158 41.932068 77.443358
    Unten rechts KachelX + 1 80804 KachelY + 1 19494 0.73190058 1.35164158 41.934814 77.443358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35165200-1.35164158) × R
    1.04200000001775e-05 × 6371000     		dl = 66.3858200011309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35165200-1.35164158) × R
    1.04200000001775e-05 × 6371000     		dr = 66.3858200011309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73185265-0.73190058) × cos(1.35165200) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217394493993138 × 6371000     		do = 66.3840239966082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73185265-0.73190058) × cos(1.35164158) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217404664774796 × 6371000     		du = 66.3871297671418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35165200)-sin(1.35164158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217394493993138-0.217404664774796)×R²
    abs(0.73190058-0.73185265)×1.01707816575203e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01707816575203e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01707816575203e-05×40589641000000     		ar = 4407.06095759852m²