Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80803 / 19453
↖ ↑ ↗
← N 77.467816°
E 41.932068°		 ← 66.26 m → N 77.467816°
E 41.934814°		 →
↑
66.26 m
↓
↑
66.26 m
↓
N 77.467220°
E 41.932068°		 ← 66.26 m →
4 390 m²		 N 77.467220°
E 41.934814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616481781005859 y=0.148418426513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616481781005859 × 217)
    floor (0.616481781005859 × 131072)
    floor (80803.5)     		tx = 80803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148418426513672 × 217)
    floor (0.148418426513672 × 131072)
    floor (19453.5)     		ty = 19453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80803 / 19453 ti = "17/80803/19453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80803/19453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80803 ÷ 217
    80803 ÷ 131072     		x = 0.616477966308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19453 ÷ 217
    19453 ÷ 131072     		y = 0.148414611816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616477966308594 × 2 - 1) × π
    0.232955932617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.73185265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148414611816406 × 2 - 1) × π
    0.703170776367188 × 3.1415926535     		Φ = 2.20907614519105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73185265} λ = 0.73185265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20907614519105))-π/2
    2×atan(9.10729868358295)-π/2
    2×1.46143239476438-π/2
    2.92286478952876-1.57079632675     		φ = 1.35206846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73185265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.932068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35206846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.467816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80803 KachelY 19453 0.73185265 1.35206846 41.932068 77.467816
    Oben rechts KachelX + 1 80804 KachelY 19453 0.73190058 1.35206846 41.934814 77.467816
    Unten links KachelX 80803 KachelY + 1 19454 0.73185265 1.35205806 41.932068 77.467220
    Unten rechts KachelX + 1 80804 KachelY + 1 19454 0.73190058 1.35205806 41.934814 77.467220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35206846-1.35205806) × R
    1.0399999999855e-05 × 6371000     		dl = 66.258399999076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35206846-1.35205806) × R
    1.0399999999855e-05 × 6371000     		dr = 66.258399999076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73185265-0.73190058) × cos(1.35206846) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.216987975282677 × 6371000     		do = 66.2598886179486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73185265-0.73190058) × cos(1.35205806) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.21699812748342 × 6371000     		du = 66.2629887145765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35206846)-sin(1.35205806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216987975282677-0.21699812748342)×R²
    abs(0.73190058-0.73185265)×1.01522007431298e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01522007431298e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01522007431298e-05×40589641000000     		ar = 4390.37690787713m²