Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80802 / 19494
↖ ↑ ↗
← N 77.443358°
E 41.929321°		 ← 66.40 m → N 77.443358°
E 41.932068°		 →
↑
66.39 m
↓
↑
66.39 m
↓
N 77.442761°
E 41.929321°		 ← 66.40 m →
4 408 m²		 N 77.442761°
E 41.932068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616474151611328 y=0.148731231689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616474151611328 × 217)
    floor (0.616474151611328 × 131072)
    floor (80802.5)     		tx = 80802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148731231689453 × 217)
    floor (0.148731231689453 × 131072)
    floor (19494.5)     		ty = 19494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80802 / 19494 ti = "17/80802/19494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80802/19494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80802 ÷ 217
    80802 ÷ 131072     		x = 0.616470336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19494 ÷ 217
    19494 ÷ 131072     		y = 0.148727416992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616470336914062 × 2 - 1) × π
    0.232940673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.73180471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148727416992188 × 2 - 1) × π
    0.702545166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.20711073230663
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73180471} λ = 0.73180471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20711073230663))-π/2
    2×atan(9.08941665994407)-π/2
    2×1.46121895460616-π/2
    2.92243790921232-1.57079632675     		φ = 1.35164158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73180471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.929321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35164158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.443358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80802 KachelY 19494 0.73180471 1.35164158 41.929321 77.443358
    Oben rechts KachelX + 1 80803 KachelY 19494 0.73185265 1.35164158 41.932068 77.443358
    Unten links KachelX 80802 KachelY + 1 19495 0.73180471 1.35163116 41.929321 77.442761
    Unten rechts KachelX + 1 80803 KachelY + 1 19495 0.73185265 1.35163116 41.932068 77.442761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35164158-1.35163116) × R
    1.04199999999555e-05 × 6371000     		dl = 66.3858199997163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35164158-1.35163116) × R
    1.04199999999555e-05 × 6371000     		dr = 66.3858199997163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73180471-0.73185265) × cos(1.35164158) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217404664774796 × 6371000     		do = 66.4009806182504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73180471-0.73185265) × cos(1.35163116) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217414835532848 × 6371000     		du = 66.4040870295549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35164158)-sin(1.35163116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217404664774796-0.217414835532848)×R²
    abs(0.73185265-0.73180471)×1.01707580522359e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01707580522359e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01707580522359e-05×40589641000000     		ar = 4408.18665793343m²