Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80802 / 19452
↖ ↑ ↗
← N 77.468412°
E 41.929321°		 ← 66.27 m → N 77.468412°
E 41.932068°		 →
↑
66.26 m
↓
↑
66.26 m
↓
N 77.467816°
E 41.929321°		 ← 66.27 m →
4 391 m²		 N 77.467816°
E 41.932068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616474151611328 y=0.148410797119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616474151611328 × 217)
    floor (0.616474151611328 × 131072)
    floor (80802.5)     		tx = 80802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148410797119141 × 217)
    floor (0.148410797119141 × 131072)
    floor (19452.5)     		ty = 19452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80802 / 19452 ti = "17/80802/19452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80802/19452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80802 ÷ 217
    80802 ÷ 131072     		x = 0.616470336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19452 ÷ 217
    19452 ÷ 131072     		y = 0.148406982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616470336914062 × 2 - 1) × π
    0.232940673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.73180471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148406982421875 × 2 - 1) × π
    0.70318603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.20912408209067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73180471} λ = 0.73180471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20912408209067))-π/2
    2×atan(9.10773526970996)-π/2
    2×1.46143759550803-π/2
    2.92287519101606-1.57079632675     		φ = 1.35207886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73180471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.929321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35207886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.468412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80802 KachelY 19452 0.73180471 1.35207886 41.929321 77.468412
    Oben rechts KachelX + 1 80803 KachelY 19452 0.73185265 1.35207886 41.932068 77.468412
    Unten links KachelX 80802 KachelY + 1 19453 0.73180471 1.35206846 41.929321 77.467816
    Unten rechts KachelX + 1 80803 KachelY + 1 19453 0.73185265 1.35206846 41.932068 77.467816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35207886-1.35206846) × R
    1.0400000000077e-05 × 6371000     		dl = 66.2584000004907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35207886-1.35206846) × R
    1.0400000000077e-05 × 6371000     		dr = 66.2584000004907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73180471-0.73185265) × cos(1.35207886) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216977823058464 × 6371000     		do = 66.270612171177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73180471-0.73185265) × cos(1.35206846) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216987975282677 × 6371000     		du = 66.2737129217699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35207886)-sin(1.35206846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216977823058464-0.216987975282677)×R²
    abs(0.73185265-0.73180471)×1.01522242127727e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01522242127727e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01522242127727e-05×40589641000000     		ar = 4391.08745485039m²