Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8080 / 9682
↖ ↑ ↗
← S 31.090574°
W  2.460937°		 ← 2 092.25 m → S 31.090574°
W  2.438965°		 →
↑
2 092.11 m
↓
↑
2 092.11 m
↓
S 31.109389°
W  2.460937°		 ← 2 091.84 m →
4 376 786 m²		 S 31.109389°
W  2.438965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493194580078125 y=0.590972900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493194580078125 × 214)
    floor (0.493194580078125 × 16384)
    floor (8080.5)     		tx = 8080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590972900390625 × 214)
    floor (0.590972900390625 × 16384)
    floor (9682.5)     		ty = 9682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8080 / 9682 ti = "14/8080/9682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8080/9682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8080 ÷ 214
    8080 ÷ 16384     		x = 0.4931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9682 ÷ 214
    9682 ÷ 16384     		y = 0.5909423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4931640625 × 2 - 1) × π
    -0.013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04295146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5909423828125 × 2 - 1) × π
    -0.181884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.571407843471069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04295146} λ = -0.04295146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.571407843471069))-π/2
    2×atan(0.564729827582309)-π/2
    2×0.514081721258338-π/2
    1.02816344251668-1.57079632675     		φ = -0.54263288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04295146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.460937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54263288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.090574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8080 KachelY 9682 -0.04295146 -0.54263288 -2.460937 -31.090574
    Oben rechts KachelX + 1 8081 KachelY 9682 -0.04256797 -0.54263288 -2.438965 -31.090574
    Unten links KachelX 8080 KachelY + 1 9683 -0.04295146 -0.54296126 -2.460937 -31.109389
    Unten rechts KachelX + 1 8081 KachelY + 1 9683 -0.04256797 -0.54296126 -2.438965 -31.109389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54263288--0.54296126) × R
    0.000328380000000017 × 6371000     		dl = 2092.10898000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54263288--0.54296126) × R
    0.000328380000000017 × 6371000     		dr = 2092.10898000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04295146--0.04256797) × cos(-0.54263288) × R
    0.00038349 × 0.856352051717002 × 6371000     		do = 2092.25199820183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04295146--0.04256797) × cos(-0.54296126) × R
    0.00038349 × 0.856182432595281 × 6371000     		du = 2091.83758225497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54263288)-sin(-0.54296126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856352051717002-0.856182432595281)×R²
    abs(-0.04256797--0.04295146)×0.000169619121720865×R²
    0.00038349×0.000169619121720865×6371000²
    0.00038349×0.000169619121720865×40589641000000     		ar = 4376785.73152871m²