Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80794 / 19451
↖ ↑ ↗
← N 77.469009°
E 41.907348°		 ← 66.27 m → N 77.469009°
E 41.910095°		 →
↑
66.32 m
↓
↑
66.32 m
↓
N 77.468412°
E 41.907348°		 ← 66.27 m →
4 395 m²		 N 77.468412°
E 41.910095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616413116455078 y=0.148403167724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616413116455078 × 217)
    floor (0.616413116455078 × 131072)
    floor (80794.5)     		tx = 80794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148403167724609 × 217)
    floor (0.148403167724609 × 131072)
    floor (19451.5)     		ty = 19451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80794 / 19451 ti = "17/80794/19451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80794/19451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80794 ÷ 217
    80794 ÷ 131072     		x = 0.616409301757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19451 ÷ 217
    19451 ÷ 131072     		y = 0.148399353027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616409301757812 × 2 - 1) × π
    0.232818603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.73142121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148399353027344 × 2 - 1) × π
    0.703201293945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.20917201899029
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73142121} λ = 0.73142121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20917201899029))-π/2
    2×atan(9.10817187676606)-π/2
    2×1.46144279600831-π/2
    2.92288559201662-1.57079632675     		φ = 1.35208927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73142121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.907348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35208927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.469009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80794 KachelY 19451 0.73142121 1.35208927 41.907348 77.469009
    Oben rechts KachelX + 1 80795 KachelY 19451 0.73146915 1.35208927 41.910095 77.469009
    Unten links KachelX 80794 KachelY + 1 19452 0.73142121 1.35207886 41.907348 77.468412
    Unten rechts KachelX + 1 80795 KachelY + 1 19452 0.73146915 1.35207886 41.910095 77.468412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35208927-1.35207886) × R
    1.04100000000162e-05 × 6371000     		dl = 66.3221100001035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35208927-1.35207886) × R
    1.04100000000162e-05 × 6371000     		dr = 66.3221100001035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73142121-0.73146915) × cos(1.35208927) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216967661048995 × 6371000     		do = 66.2675084319151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73142121-0.73146915) × cos(1.35207886) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216977823058464 × 6371000     		du = 66.270612171177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35208927)-sin(1.35207886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216967661048995-0.216977823058464)×R²
    abs(0.73146915-0.73142121)×1.01620094689336e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01620094689336e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01620094689336e-05×40589641000000     		ar = 4395.10390698705m²