Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80792 / 19432
↖ ↑ ↗
← N 77.480326°
E 41.901855°		 ← 66.21 m → N 77.480326°
E 41.904602°		 →
↑
66.19 m
↓
↑
66.19 m
↓
N 77.479730°
E 41.901855°		 ← 66.21 m →
4 383 m²		 N 77.479730°
E 41.904602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616397857666016 y=0.148258209228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616397857666016 × 217)
    floor (0.616397857666016 × 131072)
    floor (80792.5)     		tx = 80792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148258209228516 × 217)
    floor (0.148258209228516 × 131072)
    floor (19432.5)     		ty = 19432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80792 / 19432 ti = "17/80792/19432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80792/19432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80792 ÷ 217
    80792 ÷ 131072     		x = 0.61639404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19432 ÷ 217
    19432 ÷ 131072     		y = 0.14825439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61639404296875 × 2 - 1) × π
    0.2327880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.73132534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14825439453125 × 2 - 1) × π
    0.7034912109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.21008282008307
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73132534} λ = 0.73132534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21008282008307))-π/2
    2×atan(9.11647138869318)-π/2
    2×1.46154155928923-π/2
    2.92308311857846-1.57079632675     		φ = 1.35228679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73132534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.901855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35228679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.480326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80792 KachelY 19432 0.73132534 1.35228679 41.901855 77.480326
    Oben rechts KachelX + 1 80793 KachelY 19432 0.73137328 1.35228679 41.904602 77.480326
    Unten links KachelX 80792 KachelY + 1 19433 0.73132534 1.35227640 41.901855 77.479730
    Unten rechts KachelX + 1 80793 KachelY + 1 19433 0.73137328 1.35227640 41.904602 77.479730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35228679-1.35227640) × R
    1.03899999999157e-05 × 6371000     		dl = 66.1946899994632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35228679-1.35227640) × R
    1.03899999999157e-05 × 6371000     		dr = 66.1946899994632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73132534-0.73137328) × cos(1.35228679) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216774841982838 × 6371000     		do = 66.2086165259479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73132534-0.73137328) × cos(1.35227640) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216784984913857 × 6371000     		du = 66.2117144381601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35228679)-sin(1.35227640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216774841982838-0.216784984913857)×R²
    abs(0.73137328-0.73132534)×1.01429310188361e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01429310188361e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01429310188361e-05×40589641000000     		ar = 4382.7613789892m²