Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80789 / 19426
↖ ↑ ↗
← N 77.483898°
E 41.893616°		 ← 66.19 m → N 77.483898°
E 41.896362°		 →
↑
66.19 m
↓
↑
66.19 m
↓
N 77.483302°
E 41.893616°		 ← 66.19 m →
4 382 m²		 N 77.483302°
E 41.896362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616374969482422 y=0.148212432861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616374969482422 × 217)
    floor (0.616374969482422 × 131072)
    floor (80789.5)     		tx = 80789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148212432861328 × 217)
    floor (0.148212432861328 × 131072)
    floor (19426.5)     		ty = 19426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80789 / 19426 ti = "17/80789/19426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80789/19426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80789 ÷ 217
    80789 ÷ 131072     		x = 0.616371154785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19426 ÷ 217
    19426 ÷ 131072     		y = 0.148208618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616371154785156 × 2 - 1) × π
    0.232742309570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.73118153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148208618164062 × 2 - 1) × π
    0.703582763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21037044148079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73118153} λ = 0.73118153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21037044148079))-π/2
    2×atan(9.11909385805735)-π/2
    2×1.46157272945426-π/2
    2.92314545890852-1.57079632675     		φ = 1.35234913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73118153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.893616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35234913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.483898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80789 KachelY 19426 0.73118153 1.35234913 41.893616 77.483898
    Oben rechts KachelX + 1 80790 KachelY 19426 0.73122947 1.35234913 41.896362 77.483898
    Unten links KachelX 80789 KachelY + 1 19427 0.73118153 1.35233874 41.893616 77.483302
    Unten rechts KachelX + 1 80790 KachelY + 1 19427 0.73122947 1.35233874 41.896362 77.483302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35234913-1.35233874) × R
    1.03899999999157e-05 × 6371000     		dl = 66.1946899994632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35234913-1.35233874) × R
    1.03899999999157e-05 × 6371000     		dr = 66.1946899994632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73118153-0.73122947) × cos(1.35234913) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.216713983905335 × 6371000     		do = 66.190028902745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73118153-0.73122947) × cos(1.35233874) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.216724126976746 × 6371000     		du = 66.1931268578364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35234913)-sin(1.35233874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216713983905335-0.216724126976746)×R²
    abs(0.73122947-0.73118153)×1.01430714102291e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.01430714102291e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.01430714102291e-05×40589641000000     		ar = 4381.53097833551m²