Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80786 / 19441
↖ ↑ ↗
← N 77.474966°
E 41.885376°		 ← 66.24 m → N 77.474966°
E 41.888123°		 →
↑
66.26 m
↓
↑
66.26 m
↓
N 77.474370°
E 41.885376°		 ← 66.24 m →
4 389 m²		 N 77.474370°
E 41.888123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616352081298828 y=0.148326873779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616352081298828 × 217)
    floor (0.616352081298828 × 131072)
    floor (80786.5)     		tx = 80786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148326873779297 × 217)
    floor (0.148326873779297 × 131072)
    floor (19441.5)     		ty = 19441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80786 / 19441 ti = "17/80786/19441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80786/19441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80786 ÷ 217
    80786 ÷ 131072     		x = 0.616348266601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19441 ÷ 217
    19441 ÷ 131072     		y = 0.148323059082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616348266601562 × 2 - 1) × π
    0.232696533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.73103772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148323059082031 × 2 - 1) × π
    0.703353881835938 × 3.1415926535     		Φ = 2.20965138798649
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73103772} λ = 0.73103772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20965138798649))-π/2
    2×atan(9.1125390986476)-π/2
    2×1.46149478762859-π/2
    2.92298957525719-1.57079632675     		φ = 1.35219325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73103772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.885376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35219325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.474966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80786 KachelY 19441 0.73103772 1.35219325 41.885376 77.474966
    Oben rechts KachelX + 1 80787 KachelY 19441 0.73108566 1.35219325 41.888123 77.474966
    Unten links KachelX 80786 KachelY + 1 19442 0.73103772 1.35218285 41.885376 77.474370
    Unten rechts KachelX + 1 80787 KachelY + 1 19442 0.73108566 1.35218285 41.888123 77.474370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35219325-1.35218285) × R
    1.0400000000077e-05 × 6371000     		dl = 66.2584000004907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35219325-1.35218285) × R
    1.0400000000077e-05 × 6371000     		dr = 66.2584000004907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73103772-0.73108566) × cos(1.35219325) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21686615680547 × 6371000     		do = 66.2365064232234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73103772-0.73108566) × cos(1.35218285) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216876309287752 × 6371000     		du = 66.239607252637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35219325)-sin(1.35218285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21686615680547-0.216876309287752)×R²
    abs(0.73108566-0.73103772)×1.01524822813392e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01524822813392e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01524822813392e-05×40589641000000     		ar = 4388.82766514909m²