Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80785 / 19409
↖ ↑ ↗
← N 77.494013°
E 41.882629°		 ← 66.14 m → N 77.494013°
E 41.885376°		 →
↑
66.13 m
↓
↑
66.13 m
↓
N 77.493418°
E 41.882629°		 ← 66.14 m →
4 374 m²		 N 77.493418°
E 41.885376°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616344451904297 y=0.148082733154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616344451904297 × 217)
    floor (0.616344451904297 × 131072)
    floor (80785.5)     		tx = 80785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148082733154297 × 217)
    floor (0.148082733154297 × 131072)
    floor (19409.5)     		ty = 19409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80785 / 19409 ti = "17/80785/19409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80785/19409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80785 ÷ 217
    80785 ÷ 131072     		x = 0.616340637207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19409 ÷ 217
    19409 ÷ 131072     		y = 0.148078918457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616340637207031 × 2 - 1) × π
    0.232681274414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.73098978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148078918457031 × 2 - 1) × π
    0.703842163085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.21118536877433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73098978} λ = 0.73098978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21118536877433))-π/2
    2×atan(9.12652828538207)-π/2
    2×1.46166099740724-π/2
    2.92332199481448-1.57079632675     		φ = 1.35252567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73098978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.882629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35252567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.494013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80785 KachelY 19409 0.73098978 1.35252567 41.882629 77.494013
    Oben rechts KachelX + 1 80786 KachelY 19409 0.73103772 1.35252567 41.885376 77.494013
    Unten links KachelX 80785 KachelY + 1 19410 0.73098978 1.35251529 41.882629 77.493418
    Unten rechts KachelX + 1 80786 KachelY + 1 19410 0.73103772 1.35251529 41.885376 77.493418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35252567-1.35251529) × R
    1.03799999999765e-05 × 6371000     		dl = 66.1309799998504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35252567-1.35251529) × R
    1.03799999999765e-05 × 6371000     		dr = 66.1309799998504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73098978-0.73103772) × cos(1.35252567) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216541635977466 × 6371000     		do = 66.1373894091847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73098978-0.73103772) × cos(1.35251529) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216551769683524 × 6371000     		du = 66.1404845038564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35252567)-sin(1.35251529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216541635977466-0.216551769683524)×R²
    abs(0.73103772-0.73098978)×1.01337060579298e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01337060579298e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01337060579298e-05×40589641000000     		ar = 4373.83271716895m²