Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80781 / 19401
↖ ↑ ↗
← N 77.498770°
E 41.871643°		 ← 66.11 m → N 77.498770°
E 41.874390°		 →
↑
66.13 m
↓
↑
66.13 m
↓
N 77.498175°
E 41.871643°		 ← 66.12 m →
4 372 m²		 N 77.498175°
E 41.874390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616313934326172 y=0.148021697998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616313934326172 × 217)
    floor (0.616313934326172 × 131072)
    floor (80781.5)     		tx = 80781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148021697998047 × 217)
    floor (0.148021697998047 × 131072)
    floor (19401.5)     		ty = 19401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80781 / 19401 ti = "17/80781/19401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80781/19401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80781 ÷ 217
    80781 ÷ 131072     		x = 0.616310119628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19401 ÷ 217
    19401 ÷ 131072     		y = 0.148017883300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616310119628906 × 2 - 1) × π
    0.232620239257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.73079803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148017883300781 × 2 - 1) × π
    0.703964233398438 × 3.1415926535     		Φ = 2.21156886397129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73079803} λ = 0.73079803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21156886397129))-π/2
    2×atan(9.13002893634295)-π/2
    2×1.46170251097449-π/2
    2.92340502194897-1.57079632675     		φ = 1.35260870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73079803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.871643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35260870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.498770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80781 KachelY 19401 0.73079803 1.35260870 41.871643 77.498770
    Oben rechts KachelX + 1 80782 KachelY 19401 0.73084597 1.35260870 41.874390 77.498770
    Unten links KachelX 80781 KachelY + 1 19402 0.73079803 1.35259832 41.871643 77.498175
    Unten rechts KachelX + 1 80782 KachelY + 1 19402 0.73084597 1.35259832 41.874390 77.498175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35260870-1.35259832) × R
    1.03799999999765e-05 × 6371000     		dl = 66.1309799998504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35260870-1.35259832) × R
    1.03799999999765e-05 × 6371000     		dr = 66.1309799998504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73079803-0.73084597) × cos(1.35260870) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216460575252086 × 6371000     		do = 66.1126313771507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73079803-0.73084597) × cos(1.35259832) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21647070914474 × 6371000     		du = 66.1157265288137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35260870)-sin(1.35259832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216460575252086-0.21647070914474)×R²
    abs(0.73084597-0.73079803)×1.01338926540573e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01338926540573e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01338926540573e-05×40589641000000     		ar = 4372.1954460823m²