Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80776 / 19415
↖ ↑ ↗
← N 77.490444°
E 41.857910°		 ← 66.16 m → N 77.490444°
E 41.860657°		 →
↑
66.19 m
↓
↑
66.19 m
↓
N 77.489848°
E 41.857910°		 ← 66.16 m →
4 379 m²		 N 77.489848°
E 41.860657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616275787353516 y=0.148128509521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616275787353516 × 217)
    floor (0.616275787353516 × 131072)
    floor (80776.5)     		tx = 80776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148128509521484 × 217)
    floor (0.148128509521484 × 131072)
    floor (19415.5)     		ty = 19415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80776 / 19415 ti = "17/80776/19415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80776/19415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80776 ÷ 217
    80776 ÷ 131072     		x = 0.61627197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19415 ÷ 217
    19415 ÷ 131072     		y = 0.148124694824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61627197265625 × 2 - 1) × π
    0.2325439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.73055835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148124694824219 × 2 - 1) × π
    0.703750610351562 × 3.1415926535     		Φ = 2.21089774737661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73055835} λ = 0.73055835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21089774737661))-π/2
    2×atan(9.12390367802501)-π/2
    2×1.46162985203042-π/2
    2.92325970406083-1.57079632675     		φ = 1.35246338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73055835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.857910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35246338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.490444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80776 KachelY 19415 0.73055835 1.35246338 41.857910 77.490444
    Oben rechts KachelX + 1 80777 KachelY 19415 0.73060629 1.35246338 41.860657 77.490444
    Unten links KachelX 80776 KachelY + 1 19416 0.73055835 1.35245299 41.857910 77.489848
    Unten rechts KachelX + 1 80777 KachelY + 1 19416 0.73060629 1.35245299 41.860657 77.489848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35246338-1.35245299) × R
    1.03900000001378e-05 × 6371000     		dl = 66.1946900008779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35246338-1.35245299) × R
    1.03900000001378e-05 × 6371000     		dr = 66.1946900008779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73055835-0.73060629) × cos(1.35246338) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216602447626407 × 6371000     		do = 66.1559628520631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73055835-0.73060629) × cos(1.35245299) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216612590955009 × 6371000     		du = 66.1590608857075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35246338)-sin(1.35245299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216602447626407-0.216612590955009)×R²
    abs(0.73060629-0.73055835)×1.01433286021912e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01433286021912e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01433286021912e-05×40589641000000     		ar = 4379.27598934667m²