Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80774 / 19381
↖ ↑ ↗
← N 77.510655°
E 41.852417°		 ← 66.04 m → N 77.510655°
E 41.855163°		 →
↑
66.07 m
↓
↑
66.07 m
↓
N 77.510061°
E 41.852417°		 ← 66.04 m →
4 363 m²		 N 77.510061°
E 41.855163°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616260528564453 y=0.147869110107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616260528564453 × 217)
    floor (0.616260528564453 × 131072)
    floor (80774.5)     		tx = 80774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147869110107422 × 217)
    floor (0.147869110107422 × 131072)
    floor (19381.5)     		ty = 19381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80774 / 19381 ti = "17/80774/19381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80774/19381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80774 ÷ 217
    80774 ÷ 131072     		x = 0.616256713867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19381 ÷ 217
    19381 ÷ 131072     		y = 0.147865295410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616256713867188 × 2 - 1) × π
    0.232513427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.73046248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147865295410156 × 2 - 1) × π
    0.704269409179688 × 3.1415926535     		Φ = 2.21252760196369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73046248} λ = 0.73046248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21252760196369))-π/2
    2×atan(9.13878643936057)-π/2
    2×1.46180622691766-π/2
    2.92361245383531-1.57079632675     		φ = 1.35281613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73046248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.852417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35281613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.510655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80774 KachelY 19381 0.73046248 1.35281613 41.852417 77.510655
    Oben rechts KachelX + 1 80775 KachelY 19381 0.73051041 1.35281613 41.855163 77.510655
    Unten links KachelX 80774 KachelY + 1 19382 0.73046248 1.35280576 41.852417 77.510061
    Unten rechts KachelX + 1 80775 KachelY + 1 19382 0.73051041 1.35280576 41.855163 77.510061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35281613-1.35280576) × R
    1.03699999998152e-05 × 6371000     		dl = 66.067269998823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35281613-1.35280576) × R
    1.03699999998152e-05 × 6371000     		dr = 66.067269998823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73046248-0.73051041) × cos(1.35281613) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.216258058479913 × 6371000     		do = 66.0369997413255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73046248-0.73051041) × cos(1.35280576) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.216268183075086 × 6371000     		du = 66.0400914082605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35281613)-sin(1.35280576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216258058479913-0.216268183075086)×R²
    abs(0.73051041-0.73046248)×1.0124595173161e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.0124595173161e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.0124595173161e-05×40589641000000     		ar = 4362.98642079785m²