Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8077 / 9697
↖ ↑ ↗
← S 31.372399°
W  2.526856°		 ← 2 086.08 m → S 31.372399°
W  2.504883°		 →
↑
2 085.80 m
↓
↑
2 085.80 m
↓
S 31.391157°
W  2.526856°		 ← 2 085.66 m →
4 350 705 m²		 S 31.391157°
W  2.504883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493011474609375 y=0.591888427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493011474609375 × 214)
    floor (0.493011474609375 × 16384)
    floor (8077.5)     		tx = 8077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591888427734375 × 214)
    floor (0.591888427734375 × 16384)
    floor (9697.5)     		ty = 9697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8077 / 9697 ti = "14/8077/9697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8077/9697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8077 ÷ 214
    8077 ÷ 16384     		x = 0.49298095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9697 ÷ 214
    9697 ÷ 16384     		y = 0.59185791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49298095703125 × 2 - 1) × π
    -0.0140380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04410195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59185791015625 × 2 - 1) × π
    -0.1837158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.577160271425476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04410195} λ = -0.04410195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.577160271425476))-π/2
    2×atan(0.561490585620762)-π/2
    2×0.511622334089547-π/2
    1.02324466817909-1.57079632675     		φ = -0.54755166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04410195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.526856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54755166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.372399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8077 KachelY 9697 -0.04410195 -0.54755166 -2.526856 -31.372399
    Oben rechts KachelX + 1 8078 KachelY 9697 -0.04371845 -0.54755166 -2.504883 -31.372399
    Unten links KachelX 8077 KachelY + 1 9698 -0.04410195 -0.54787905 -2.526856 -31.391157
    Unten rechts KachelX + 1 8078 KachelY + 1 9698 -0.04371845 -0.54787905 -2.504883 -31.391157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54755166--0.54787905) × R
    0.000327390000000038 × 6371000     		dl = 2085.80169000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54755166--0.54787905) × R
    0.000327390000000038 × 6371000     		dr = 2085.80169000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04410195--0.04371845) × cos(-0.54755166) × R
    0.000383500000000002 × 0.853801681659168 × 6371000     		do = 2086.0752920617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04410195--0.04371845) × cos(-0.54787905) × R
    0.000383500000000002 × 0.853631197196795 × 6371000     		du = 2085.6587510402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54755166)-sin(-0.54787905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853801681659168-0.853631197196795)×R²
    abs(-0.04371845--0.04410195)×0.000170484462373×R²
    0.000383500000000002×0.000170484462373×6371000²
    0.000383500000000002×0.000170484462373×40589641000000     		ar = 4350704.99752604m²