Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80769 / 19380
↖ ↑ ↗
← N 77.511248°
E 41.838684°		 ← 66.05 m → N 77.511248°
E 41.841431°		 →
↑
66 m
↓
↑
66 m
↓
N 77.510655°
E 41.838684°		 ← 66.05 m →
4 359 m²		 N 77.510655°
E 41.841431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616222381591797 y=0.147861480712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616222381591797 × 217)
    floor (0.616222381591797 × 131072)
    floor (80769.5)     		tx = 80769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147861480712891 × 217)
    floor (0.147861480712891 × 131072)
    floor (19380.5)     		ty = 19380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80769 / 19380 ti = "17/80769/19380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80769/19380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80769 ÷ 217
    80769 ÷ 131072     		x = 0.616218566894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19380 ÷ 217
    19380 ÷ 131072     		y = 0.147857666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616218566894531 × 2 - 1) × π
    0.232437133789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.73022279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147857666015625 × 2 - 1) × π
    0.70428466796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21257553886331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73022279} λ = 0.73022279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21257553886331))-π/2
    2×atan(9.13922453494915)-π/2
    2×1.46181141016685-π/2
    2.9236228203337-1.57079632675     		φ = 1.35282649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73022279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.838684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35282649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.511248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80769 KachelY 19380 0.73022279 1.35282649 41.838684 77.511248
    Oben rechts KachelX + 1 80770 KachelY 19380 0.73027073 1.35282649 41.841431 77.511248
    Unten links KachelX 80769 KachelY + 1 19381 0.73022279 1.35281613 41.838684 77.510655
    Unten rechts KachelX + 1 80770 KachelY + 1 19381 0.73027073 1.35281613 41.841431 77.510655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35282649-1.35281613) × R
    1.03600000000981e-05 × 6371000     		dl = 66.0035600006248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35282649-1.35281613) × R
    1.03600000000981e-05 × 6371000     		dr = 66.0035600006248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73022279-0.73027073) × cos(1.35282649) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216247943624869 × 6371000     		do = 66.0476882050606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73022279-0.73027073) × cos(1.35281613) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216258058479913 × 6371000     		du = 66.0507775421475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35282649)-sin(1.35281613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216247943624869-0.216258058479913)×R²
    abs(0.73027073-0.73022279)×1.01148550443741e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01148550443741e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01148550443741e-05×40589641000000     		ar = 4359.48450507482m²