Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80761 / 19479
↖ ↑ ↗
← N 77.452312°
E 41.816712°		 ← 66.34 m → N 77.452312°
E 41.819458°		 →
↑
66.32 m
↓
↑
66.32 m
↓
N 77.451715°
E 41.816712°		 ← 66.34 m →
4 400 m²		 N 77.451715°
E 41.819458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616161346435547 y=0.148616790771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616161346435547 × 217)
    floor (0.616161346435547 × 131072)
    floor (80761.5)     		tx = 80761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148616790771484 × 217)
    floor (0.148616790771484 × 131072)
    floor (19479.5)     		ty = 19479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80761 / 19479 ti = "17/80761/19479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80761/19479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80761 ÷ 217
    80761 ÷ 131072     		x = 0.616157531738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19479 ÷ 217
    19479 ÷ 131072     		y = 0.148612976074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616157531738281 × 2 - 1) × π
    0.232315063476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.72983930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148612976074219 × 2 - 1) × π
    0.702774047851562 × 3.1415926535     		Φ = 2.20782978580093
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72983930} λ = 0.72983930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20782978580093))-π/2
    2×atan(9.09595478710445)-π/2
    2×1.46129708997389-π/2
    2.92259417994777-1.57079632675     		φ = 1.35179785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72983930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.816712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35179785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.452312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80761 KachelY 19479 0.72983930 1.35179785 41.816712 77.452312
    Oben rechts KachelX + 1 80762 KachelY 19479 0.72988723 1.35179785 41.819458 77.452312
    Unten links KachelX 80761 KachelY + 1 19480 0.72983930 1.35178744 41.816712 77.451715
    Unten rechts KachelX + 1 80762 KachelY + 1 19480 0.72988723 1.35178744 41.819458 77.451715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35179785-1.35178744) × R
    1.04100000000162e-05 × 6371000     		dl = 66.3221100001035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35179785-1.35178744) × R
    1.04100000000162e-05 × 6371000     		dr = 66.3221100001035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72983930-0.72988723) × cos(1.35179785) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217252129855493 × 6371000     		do = 66.3405513945377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72983930-0.72988723) × cos(1.35178744) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217262291206304 × 6371000     		du = 66.3436542852489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35179785)-sin(1.35178744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217252129855493-0.217262291206304)×R²
    abs(0.72988723-0.72983930)×1.01613508110832e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01613508110832e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01613508110832e-05×40589641000000     		ar = 4399.9482422715m²