Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8076 / 9692
↖ ↑ ↗
← S 31.278551°
W  2.548828°		 ← 2 088.10 m → S 31.278551°
W  2.526856°		 →
↑
2 087.90 m
↓
↑
2 087.90 m
↓
S 31.297328°
W  2.548828°		 ← 2 087.69 m →
4 359 322 m²		 S 31.297328°
W  2.526856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492950439453125 y=0.591583251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492950439453125 × 214)
    floor (0.492950439453125 × 16384)
    floor (8076.5)     		tx = 8076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591583251953125 × 214)
    floor (0.591583251953125 × 16384)
    floor (9692.5)     		ty = 9692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8076 / 9692 ti = "14/8076/9692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8076/9692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8076 ÷ 214
    8076 ÷ 16384     		x = 0.492919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9692 ÷ 214
    9692 ÷ 16384     		y = 0.591552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492919921875 × 2 - 1) × π
    -0.01416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04448544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591552734375 × 2 - 1) × π
    -0.18310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.575242795440674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04448544} λ = -0.04448544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.575242795440674))-π/2
    2×atan(0.562568263214643)-π/2
    2×0.512441314533916-π/2
    1.02488262906783-1.57079632675     		φ = -0.54591370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04448544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.548828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54591370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.278551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8076 KachelY 9692 -0.04448544 -0.54591370 -2.548828 -31.278551
    Oben rechts KachelX + 1 8077 KachelY 9692 -0.04410195 -0.54591370 -2.526856 -31.278551
    Unten links KachelX 8076 KachelY + 1 9693 -0.04448544 -0.54624142 -2.548828 -31.297328
    Unten rechts KachelX + 1 8077 KachelY + 1 9693 -0.04410195 -0.54624142 -2.526856 -31.297328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54591370--0.54624142) × R
    0.000327720000000031 × 6371000     		dl = 2087.9041200002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54591370--0.54624142) × R
    0.000327720000000031 × 6371000     		dr = 2087.9041200002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04448544--0.04410195) × cos(-0.54591370) × R
    0.00038349 × 0.854653255286648 × 6371000     		do = 2088.10147363799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04448544--0.04410195) × cos(-0.54624142) × R
    0.00038349 × 0.854483057431574 × 6371000     		du = 2087.68564372124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54591370)-sin(-0.54624142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854653255286648-0.854483057431574)×R²
    abs(-0.04410195--0.04448544)×0.000170197855073773×R²
    0.00038349×0.000170197855073773×6371000²
    0.00038349×0.000170197855073773×40589641000000     		ar = 4359321.60230459m²