Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80758 / 19394
↖ ↑ ↗
← N 77.502931°
E 41.808472°		 ← 66.08 m → N 77.502931°
E 41.811218°		 →
↑
66.07 m
↓
↑
66.07 m
↓
N 77.502337°
E 41.808472°		 ← 66.08 m →
4 366 m²		 N 77.502337°
E 41.811218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616138458251953 y=0.147968292236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616138458251953 × 217)
    floor (0.616138458251953 × 131072)
    floor (80758.5)     		tx = 80758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147968292236328 × 217)
    floor (0.147968292236328 × 131072)
    floor (19394.5)     		ty = 19394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80758 / 19394 ti = "17/80758/19394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80758/19394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80758 ÷ 217
    80758 ÷ 131072     		x = 0.616134643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19394 ÷ 217
    19394 ÷ 131072     		y = 0.147964477539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616134643554688 × 2 - 1) × π
    0.232269287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.72969549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147964477539062 × 2 - 1) × π
    0.704071044921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21190442226863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72969549} λ = 0.72969549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21190442226863))-π/2
    2×atan(9.13309310738275)-π/2
    2×1.46173882259807-π/2
    2.92347764519613-1.57079632675     		φ = 1.35268132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72969549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.808472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35268132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.502931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80758 KachelY 19394 0.72969549 1.35268132 41.808472 77.502931
    Oben rechts KachelX + 1 80759 KachelY 19394 0.72974342 1.35268132 41.811218 77.502931
    Unten links KachelX 80758 KachelY + 1 19395 0.72969549 1.35267095 41.808472 77.502337
    Unten rechts KachelX + 1 80759 KachelY + 1 19395 0.72974342 1.35267095 41.811218 77.502337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35268132-1.35267095) × R
    1.03700000000373e-05 × 6371000     		dl = 66.0672700002376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35268132-1.35267095) × R
    1.03700000000373e-05 × 6371000     		dr = 66.0672700002376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72969549-0.72974342) × cos(1.35268132) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.216389676402824 × 6371000     		do = 66.0771908574499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72969549-0.72974342) × cos(1.35267095) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.216399800695574 × 6371000     		du = 66.0802824320364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35268132)-sin(1.35267095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216389676402824-0.216399800695574)×R²
    abs(0.72974342-0.72969549)×1.01242927499356e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01242927499356e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01242927499356e-05×40589641000000     		ar = 4365.64173512728m²