Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80756 / 19385
↖ ↑ ↗
← N 77.508279°
E 41.802978°		 ← 66.06 m → N 77.508279°
E 41.805725°		 →
↑
66.07 m
↓
↑
66.07 m
↓
N 77.507684°
E 41.802978°		 ← 66.07 m →
4 365 m²		 N 77.507684°
E 41.805725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616123199462891 y=0.147899627685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616123199462891 × 217)
    floor (0.616123199462891 × 131072)
    floor (80756.5)     		tx = 80756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147899627685547 × 217)
    floor (0.147899627685547 × 131072)
    floor (19385.5)     		ty = 19385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80756 / 19385 ti = "17/80756/19385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80756/19385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80756 ÷ 217
    80756 ÷ 131072     		x = 0.616119384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19385 ÷ 217
    19385 ÷ 131072     		y = 0.147895812988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616119384765625 × 2 - 1) × π
    0.23223876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.72959961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147895812988281 × 2 - 1) × π
    0.704208374023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.21233585436521
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72959961} λ = 0.72959961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21233585436521))-π/2
    2×atan(9.13703426700058)-π/2
    2×1.46178549149482-π/2
    2.92357098298965-1.57079632675     		φ = 1.35277466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72959961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.802978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35277466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.508279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80756 KachelY 19385 0.72959961 1.35277466 41.802978 77.508279
    Oben rechts KachelX + 1 80757 KachelY 19385 0.72964755 1.35277466 41.805725 77.508279
    Unten links KachelX 80756 KachelY + 1 19386 0.72959961 1.35276429 41.802978 77.507684
    Unten rechts KachelX + 1 80757 KachelY + 1 19386 0.72964755 1.35276429 41.805725 77.507684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35277466-1.35276429) × R
    1.03699999998152e-05 × 6371000     		dl = 66.067269998823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35277466-1.35276429) × R
    1.03699999998152e-05 × 6371000     		dr = 66.067269998823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72959961-0.72964755) × cos(1.35277466) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.216298546957789 × 6371000     		do = 66.0631437656171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72959961-0.72964755) × cos(1.35276429) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.216308671459951 × 6371000     		du = 66.066236049182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35277466)-sin(1.35276429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216298546957789-0.216308671459951)×R²
    abs(0.72964755-0.72959961)×1.01245021618401e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.01245021618401e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.01245021618401e-05×40589641000000     		ar = 4364.71370547586m²