Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80755 / 19474
↖ ↑ ↗
← N 77.455295°
E 41.800232°		 ← 66.33 m → N 77.455295°
E 41.802978°		 →
↑
66.32 m
↓
↑
66.32 m
↓
N 77.454699°
E 41.800232°		 ← 66.33 m →
4 399 m²		 N 77.454699°
E 41.802978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616115570068359 y=0.148578643798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616115570068359 × 217)
    floor (0.616115570068359 × 131072)
    floor (80755.5)     		tx = 80755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148578643798828 × 217)
    floor (0.148578643798828 × 131072)
    floor (19474.5)     		ty = 19474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80755 / 19474 ti = "17/80755/19474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80755/19474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80755 ÷ 217
    80755 ÷ 131072     		x = 0.616111755371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19474 ÷ 217
    19474 ÷ 131072     		y = 0.148574829101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616111755371094 × 2 - 1) × π
    0.232223510742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.72955168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148574829101562 × 2 - 1) × π
    0.702850341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.20806947029903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72955168} λ = 0.72955168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20806947029903))-π/2
    2×atan(9.09813520775841)-π/2
    2×1.46132312291191-π/2
    2.92264624582382-1.57079632675     		φ = 1.35184992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72955168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.800232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35184992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.455295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80755 KachelY 19474 0.72955168 1.35184992 41.800232 77.455295
    Oben rechts KachelX + 1 80756 KachelY 19474 0.72959961 1.35184992 41.802978 77.455295
    Unten links KachelX 80755 KachelY + 1 19475 0.72955168 1.35183951 41.800232 77.454699
    Unten rechts KachelX + 1 80756 KachelY + 1 19475 0.72959961 1.35183951 41.802978 77.454699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35184992-1.35183951) × R
    1.04100000000162e-05 × 6371000     		dl = 66.3221100001035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35184992-1.35183951) × R
    1.04100000000162e-05 × 6371000     		dr = 66.3221100001035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72955168-0.72959961) × cos(1.35184992) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.217201303225775 × 6371000     		do = 66.3250308715553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72955168-0.72959961) × cos(1.35183951) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.217211464694337 × 6371000     		du = 66.328133798223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35184992)-sin(1.35183951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217201303225775-0.217211464694337)×R²
    abs(0.72959961-0.72955168)×1.01614685613094e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.01614685613094e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.01614685613094e-05×40589641000000     		ar = 4398.91888954088m²