Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80754 / 19473
↖ ↑ ↗
← N 77.455891°
E 41.797485°		 ← 66.34 m → N 77.455891°
E 41.800232°		 →
↑
66.32 m
↓
↑
66.32 m
↓
N 77.455295°
E 41.797485°		 ← 66.34 m →
4 400 m²		 N 77.455295°
E 41.800232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616107940673828 y=0.148571014404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616107940673828 × 217)
    floor (0.616107940673828 × 131072)
    floor (80754.5)     		tx = 80754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148571014404297 × 217)
    floor (0.148571014404297 × 131072)
    floor (19473.5)     		ty = 19473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80754 / 19473 ti = "17/80754/19473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80754/19473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80754 ÷ 217
    80754 ÷ 131072     		x = 0.616104125976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19473 ÷ 217
    19473 ÷ 131072     		y = 0.148567199707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616104125976562 × 2 - 1) × π
    0.232208251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.72950374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148567199707031 × 2 - 1) × π
    0.702865600585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.20811740719865
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72950374} λ = 0.72950374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20811740719865))-π/2
    2×atan(9.09857135460628)-π/2
    2×1.46132832876867-π/2
    2.92265665753734-1.57079632675     		φ = 1.35186033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72950374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.797485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35186033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.455891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80754 KachelY 19473 0.72950374 1.35186033 41.797485 77.455891
    Oben rechts KachelX + 1 80755 KachelY 19473 0.72955168 1.35186033 41.800232 77.455891
    Unten links KachelX 80754 KachelY + 1 19474 0.72950374 1.35184992 41.797485 77.455295
    Unten rechts KachelX + 1 80755 KachelY + 1 19474 0.72955168 1.35184992 41.800232 77.455295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35186033-1.35184992) × R
    1.04100000000162e-05 × 6371000     		dl = 66.3221100001035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35186033-1.35184992) × R
    1.04100000000162e-05 × 6371000     		dr = 66.3221100001035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72950374-0.72955168) × cos(1.35186033) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.217191141733676 × 6371000     		do = 66.3357651855631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72950374-0.72955168) × cos(1.35184992) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.217201303225775 × 6371000     		du = 66.338868766807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35186033)-sin(1.35184992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217191141733676-0.217201303225775)×R²
    abs(0.72955168-0.72950374)×1.0161492099009e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.0161492099009e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.0161492099009e-05×40589641000000     		ar = 4399.6308335232m²