Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80754 / 19393
↖ ↑ ↗
← N 77.503525°
E 41.797485°		 ← 66.09 m → N 77.503525°
E 41.800232°		 →
↑
66.07 m
↓
↑
66.07 m
↓
N 77.502931°
E 41.797485°		 ← 66.09 m →
4 366 m²		 N 77.502931°
E 41.800232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616107940673828 y=0.147960662841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616107940673828 × 217)
    floor (0.616107940673828 × 131072)
    floor (80754.5)     		tx = 80754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147960662841797 × 217)
    floor (0.147960662841797 × 131072)
    floor (19393.5)     		ty = 19393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80754 / 19393 ti = "17/80754/19393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80754/19393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80754 ÷ 217
    80754 ÷ 131072     		x = 0.616104125976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19393 ÷ 217
    19393 ÷ 131072     		y = 0.147956848144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616104125976562 × 2 - 1) × π
    0.232208251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.72950374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147956848144531 × 2 - 1) × π
    0.704086303710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.21195235916825
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72950374} λ = 0.72950374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21195235916825))-π/2
    2×atan(9.13353093004411)-π/2
    2×1.46174400900184-π/2
    2.92348801800367-1.57079632675     		φ = 1.35269169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72950374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.797485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35269169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.503525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80754 KachelY 19393 0.72950374 1.35269169 41.797485 77.503525
    Oben rechts KachelX + 1 80755 KachelY 19393 0.72955168 1.35269169 41.800232 77.503525
    Unten links KachelX 80754 KachelY + 1 19394 0.72950374 1.35268132 41.797485 77.502931
    Unten rechts KachelX + 1 80755 KachelY + 1 19394 0.72955168 1.35268132 41.800232 77.502931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35269169-1.35268132) × R
    1.03699999998152e-05 × 6371000     		dl = 66.067269998823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35269169-1.35268132) × R
    1.03699999998152e-05 × 6371000     		dr = 66.067269998823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72950374-0.72955168) × cos(1.35269169) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.216379552086805 × 6371000     		do = 66.0878848170905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72950374-0.72955168) × cos(1.35268132) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.216389676402824 × 6371000     		du = 66.0909770438028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35269169)-sin(1.35268132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216379552086805-0.216389676402824)×R²
    abs(0.72955168-0.72950374)×1.01243160195719e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.01243160195719e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.01243160195719e-05×40589641000000     		ar = 4366.34827742525m²