Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80753 / 19383
↖ ↑ ↗
← N 77.509466°
E 41.794739°		 ← 66.06 m → N 77.509466°
E 41.797485°		 →
↑
66.07 m
↓
↑
66.07 m
↓
N 77.508872°
E 41.794739°		 ← 66.06 m →
4 364 m²		 N 77.508872°
E 41.797485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616100311279297 y=0.147884368896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616100311279297 × 217)
    floor (0.616100311279297 × 131072)
    floor (80753.5)     		tx = 80753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147884368896484 × 217)
    floor (0.147884368896484 × 131072)
    floor (19383.5)     		ty = 19383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80753 / 19383 ti = "17/80753/19383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80753/19383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80753 ÷ 217
    80753 ÷ 131072     		x = 0.616096496582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19383 ÷ 217
    19383 ÷ 131072     		y = 0.147880554199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616096496582031 × 2 - 1) × π
    0.232192993164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.72945580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147880554199219 × 2 - 1) × π
    0.704238891601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.21243172816445
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72945580} λ = 0.72945580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21243172816445))-π/2
    2×atan(9.13791031118372)-π/2
    2×1.46179585969147-π/2
    2.92359171938294-1.57079632675     		φ = 1.35279539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72945580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.794739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35279539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.509466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80753 KachelY 19383 0.72945580 1.35279539 41.794739 77.509466
    Oben rechts KachelX + 1 80754 KachelY 19383 0.72950374 1.35279539 41.797485 77.509466
    Unten links KachelX 80753 KachelY + 1 19384 0.72945580 1.35278502 41.794739 77.508872
    Unten rechts KachelX + 1 80754 KachelY + 1 19384 0.72950374 1.35278502 41.797485 77.508872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35279539-1.35278502) × R
    1.03700000000373e-05 × 6371000     		dl = 66.0672700002376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35279539-1.35278502) × R
    1.03700000000373e-05 × 6371000     		dr = 66.0672700002376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72945580-0.72950374) × cos(1.35279539) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216278307647003 × 6371000     		do = 66.0569621589902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72945580-0.72950374) × cos(1.35278502) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216288432195662 × 6371000     		du = 66.0600544567565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35279539)-sin(1.35278502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216278307647003-0.216288432195662)×R²
    abs(0.72950374-0.72945580)×1.0124548658702e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0124548658702e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0124548658702e-05×40589641000000     		ar = 4364.30530422121m²