Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80751 / 19395
↖ ↑ ↗
← N 77.502337°
E 41.789246°		 ← 66.08 m → N 77.502337°
E 41.791992°		 →
↑
66.13 m
↓
↑
66.13 m
↓
N 77.501742°
E 41.789246°		 ← 66.08 m →
4 370 m²		 N 77.501742°
E 41.791992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616085052490234 y=0.147975921630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616085052490234 × 217)
    floor (0.616085052490234 × 131072)
    floor (80751.5)     		tx = 80751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147975921630859 × 217)
    floor (0.147975921630859 × 131072)
    floor (19395.5)     		ty = 19395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80751 / 19395 ti = "17/80751/19395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80751/19395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80751 ÷ 217
    80751 ÷ 131072     		x = 0.616081237792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19395 ÷ 217
    19395 ÷ 131072     		y = 0.147972106933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616081237792969 × 2 - 1) × π
    0.232162475585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.72935993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147972106933594 × 2 - 1) × π
    0.704055786132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.21185648536901
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72935993} λ = 0.72935993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21185648536901))-π/2
    2×atan(9.13265530570876)-π/2
    2×1.46173363595156-π/2
    2.92346727190312-1.57079632675     		φ = 1.35267095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72935993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.789246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35267095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.502337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80751 KachelY 19395 0.72935993 1.35267095 41.789246 77.502337
    Oben rechts KachelX + 1 80752 KachelY 19395 0.72940786 1.35267095 41.791992 77.502337
    Unten links KachelX 80751 KachelY + 1 19396 0.72935993 1.35266057 41.789246 77.501742
    Unten rechts KachelX + 1 80752 KachelY + 1 19396 0.72940786 1.35266057 41.791992 77.501742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35267095-1.35266057) × R
    1.03799999999765e-05 × 6371000     		dl = 66.1309799998504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35267095-1.35266057) × R
    1.03799999999765e-05 × 6371000     		dr = 66.1309799998504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72935993-0.72940786) × cos(1.35267095) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.216399800695574 × 6371000     		do = 66.0802824320364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72935993-0.72940786) × cos(1.35266057) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.216409934728079 × 6371000     		du = 66.0833769807741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35267095)-sin(1.35266057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216399800695574-0.216409934728079)×R²
    abs(0.72940786-0.72935993)×1.01340325047994e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01340325047994e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01340325047994e-05×40589641000000     		ar = 4370.0561587274m²