Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80748 / 19388
↖ ↑ ↗
← N 77.506496°
E 41.781006°		 ← 66.06 m → N 77.506496°
E 41.783752°		 →
↑
66.07 m
↓
↑
66.07 m
↓
N 77.505902°
E 41.781006°		 ← 66.06 m →
4 364 m²		 N 77.505902°
E 41.783752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616062164306641 y=0.147922515869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616062164306641 × 217)
    floor (0.616062164306641 × 131072)
    floor (80748.5)     		tx = 80748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147922515869141 × 217)
    floor (0.147922515869141 × 131072)
    floor (19388.5)     		ty = 19388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80748 / 19388 ti = "17/80748/19388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80748/19388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80748 ÷ 217
    80748 ÷ 131072     		x = 0.616058349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19388 ÷ 217
    19388 ÷ 131072     		y = 0.147918701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616058349609375 × 2 - 1) × π
    0.23211669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.72921612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147918701171875 × 2 - 1) × π
    0.70416259765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21219204366635
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72921612} λ = 0.72921612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21219204366635))-π/2
    2×atan(9.13572035819647)-π/2
    2×1.46176993738004-π/2
    2.92353987476007-1.57079632675     		φ = 1.35274355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72921612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.781006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35274355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.506496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80748 KachelY 19388 0.72921612 1.35274355 41.781006 77.506496
    Oben rechts KachelX + 1 80749 KachelY 19388 0.72926405 1.35274355 41.783752 77.506496
    Unten links KachelX 80748 KachelY + 1 19389 0.72921612 1.35273318 41.781006 77.505902
    Unten rechts KachelX + 1 80749 KachelY + 1 19389 0.72926405 1.35273318 41.783752 77.505902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35274355-1.35273318) × R
    1.03700000000373e-05 × 6371000     		dl = 66.0672700002376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35274355-1.35273318) × R
    1.03700000000373e-05 × 6371000     		dr = 66.0672700002376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72921612-0.72926405) × cos(1.35274355) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.21632892039449 × 6371000     		do = 66.0586382794103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72921612-0.72926405) × cos(1.35273318) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.216339044826865 × 6371000     		du = 66.0617298966331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35274355)-sin(1.35273318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21632892039449-0.216339044826865)×R²
    abs(0.72926405-0.72921612)×1.01244323753025e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01244323753025e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01244323753025e-05×40589641000000     		ar = 4364.41601847284m²