Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80745 / 19404
↖ ↑ ↗
← N 77.496986°
E 41.772766°		 ← 66.11 m → N 77.496986°
E 41.775513°		 →
↑
66.07 m
↓
↑
66.07 m
↓
N 77.496391°
E 41.772766°		 ← 66.11 m →
4 368 m²		 N 77.496391°
E 41.775513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616039276123047 y=0.148044586181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616039276123047 × 217)
    floor (0.616039276123047 × 131072)
    floor (80745.5)     		tx = 80745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148044586181641 × 217)
    floor (0.148044586181641 × 131072)
    floor (19404.5)     		ty = 19404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80745 / 19404 ti = "17/80745/19404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80745/19404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80745 ÷ 217
    80745 ÷ 131072     		x = 0.616035461425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19404 ÷ 217
    19404 ÷ 131072     		y = 0.148040771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616035461425781 × 2 - 1) × π
    0.232070922851562 × 3.1415926535     		Λ = 0.72907231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148040771484375 × 2 - 1) × π
    0.70391845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21142505327243
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72907231} λ = 0.72907231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21142505327243))-π/2
    2×atan(9.1287160349079)-π/2
    2×1.46168694520815-π/2
    2.92337389041629-1.57079632675     		φ = 1.35257756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72907231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.772766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35257756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.496986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80745 KachelY 19404 0.72907231 1.35257756 41.772766 77.496986
    Oben rechts KachelX + 1 80746 KachelY 19404 0.72912024 1.35257756 41.775513 77.496986
    Unten links KachelX 80745 KachelY + 1 19405 0.72907231 1.35256719 41.772766 77.496391
    Unten rechts KachelX + 1 80746 KachelY + 1 19405 0.72912024 1.35256719 41.775513 77.496391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35257756-1.35256719) × R
    1.03700000000373e-05 × 6371000     		dl = 66.0672700002376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35257756-1.35256719) × R
    1.03700000000373e-05 × 6371000     		dr = 66.0672700002376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72907231-0.72912024) × cos(1.35257756) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.216490976860077 × 6371000     		do = 66.1081241707165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72907231-0.72912024) × cos(1.35256719) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.216501100919933 × 6371000     		du = 66.1112156741862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35257756)-sin(1.35256719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216490976860077-0.216501100919933)×R²
    abs(0.72912024-0.72907231)×1.01240598566199e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01240598566199e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01240598566199e-05×40589641000000     		ar = 4367.68541244276m²