Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80743 / 19399
↖ ↑ ↗
← N 77.499959°
E 41.767273°		 ← 66.11 m → N 77.499959°
E 41.770020°		 →
↑
66.13 m
↓
↑
66.13 m
↓
N 77.499364°
E 41.767273°		 ← 66.11 m →
4 372 m²		 N 77.499364°
E 41.770020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616024017333984 y=0.148006439208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616024017333984 × 217)
    floor (0.616024017333984 × 131072)
    floor (80743.5)     		tx = 80743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148006439208984 × 217)
    floor (0.148006439208984 × 131072)
    floor (19399.5)     		ty = 19399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80743 / 19399 ti = "17/80743/19399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80743/19399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80743 ÷ 217
    80743 ÷ 131072     		x = 0.616020202636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19399 ÷ 217
    19399 ÷ 131072     		y = 0.148002624511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616020202636719 × 2 - 1) × π
    0.232040405273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.72897643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148002624511719 × 2 - 1) × π
    0.703994750976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.21166473777053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72897643} λ = 0.72897643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21166473777053))-π/2
    2×atan(9.13090430886622)-π/2
    2×1.46171288693797-π/2
    2.92342577387595-1.57079632675     		φ = 1.35262945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72897643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.767273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35262945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.499959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80743 KachelY 19399 0.72897643 1.35262945 41.767273 77.499959
    Oben rechts KachelX + 1 80744 KachelY 19399 0.72902437 1.35262945 41.770020 77.499959
    Unten links KachelX 80743 KachelY + 1 19400 0.72897643 1.35261907 41.767273 77.499364
    Unten rechts KachelX + 1 80744 KachelY + 1 19400 0.72902437 1.35261907 41.770020 77.499364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35262945-1.35261907) × R
    1.03799999999765e-05 × 6371000     		dl = 66.1309799998504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35262945-1.35261907) × R
    1.03799999999765e-05 × 6371000     		dr = 66.1309799998504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72897643-0.72902437) × cos(1.35262945) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21644031715977 × 6371000     		do = 66.1064440343142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72897643-0.72902437) × cos(1.35261907) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216450451099046 × 6371000     		du = 66.1095392002165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35262945)-sin(1.35261907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21644031715977-0.216450451099046)×R²
    abs(0.72902437-0.72897643)×1.01339392753197e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01339392753197e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01339392753197e-05×40589641000000     		ar = 4371.78627164964m²