Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80742 / 19398
↖ ↑ ↗
← N 77.500553°
E 41.764527°		 ← 66.09 m → N 77.500553°
E 41.767273°		 →
↑
66.07 m
↓
↑
66.07 m
↓
N 77.499959°
E 41.764527°		 ← 66.09 m →
4 366 m²		 N 77.499959°
E 41.767273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616016387939453 y=0.147998809814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616016387939453 × 217)
    floor (0.616016387939453 × 131072)
    floor (80742.5)     		tx = 80742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147998809814453 × 217)
    floor (0.147998809814453 × 131072)
    floor (19398.5)     		ty = 19398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80742 / 19398 ti = "17/80742/19398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80742/19398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80742 ÷ 217
    80742 ÷ 131072     		x = 0.616012573242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19398 ÷ 217
    19398 ÷ 131072     		y = 0.147994995117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616012573242188 × 2 - 1) × π
    0.232025146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.72892850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147994995117188 × 2 - 1) × π
    0.704010009765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21171267467015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72892850} λ = 0.72892850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21171267467015))-π/2
    2×atan(9.13134202660085)-π/2
    2×1.46171807455553-π/2
    2.92343614911105-1.57079632675     		φ = 1.35263982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72892850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.764527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35263982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.500553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80742 KachelY 19398 0.72892850 1.35263982 41.764527 77.500553
    Oben rechts KachelX + 1 80743 KachelY 19398 0.72897643 1.35263982 41.767273 77.500553
    Unten links KachelX 80742 KachelY + 1 19399 0.72892850 1.35262945 41.764527 77.499959
    Unten rechts KachelX + 1 80743 KachelY + 1 19399 0.72897643 1.35262945 41.767273 77.499959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35263982-1.35262945) × R
    1.03700000000373e-05 × 6371000     		dl = 66.0672700002376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35263982-1.35262945) × R
    1.03700000000373e-05 × 6371000     		dr = 66.0672700002376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72892850-0.72897643) × cos(1.35263982) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.216430192960156 × 6371000     		do = 66.0895630756453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72892850-0.72897643) × cos(1.35262945) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.21644031715977 × 6371000     		du = 66.0926546217917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35263982)-sin(1.35262945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216430192960156-0.21644031715977)×R²
    abs(0.72897643-0.72892850)×1.01241996146584e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01241996146584e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01241996146584e-05×40589641000000     		ar = 4366.45913291939m²