Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80741 / 19397
↖ ↑ ↗
← N 77.501148°
E 41.761780°		 ← 66.10 m → N 77.501148°
E 41.764527°		 →
↑
66.13 m
↓
↑
66.13 m
↓
N 77.500553°
E 41.761780°		 ← 66.10 m →
4 371 m²		 N 77.500553°
E 41.764527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616008758544922 y=0.147991180419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616008758544922 × 217)
    floor (0.616008758544922 × 131072)
    floor (80741.5)     		tx = 80741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147991180419922 × 217)
    floor (0.147991180419922 × 131072)
    floor (19397.5)     		ty = 19397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80741 / 19397 ti = "17/80741/19397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80741/19397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80741 ÷ 217
    80741 ÷ 131072     		x = 0.616004943847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19397 ÷ 217
    19397 ÷ 131072     		y = 0.147987365722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.616004943847656 × 2 - 1) × π
    0.232009887695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.72888056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147987365722656 × 2 - 1) × π
    0.704025268554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.21176061156977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72888056} λ = 0.72888056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21176061156977))-π/2
    2×atan(9.13177976531881)-π/2
    2×1.4617232619303-π/2
    2.92344652386061-1.57079632675     		φ = 1.35265020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72888056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.761780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35265020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.501148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80741 KachelY 19397 0.72888056 1.35265020 41.761780 77.501148
    Oben rechts KachelX + 1 80742 KachelY 19397 0.72892850 1.35265020 41.764527 77.501148
    Unten links KachelX 80741 KachelY + 1 19398 0.72888056 1.35263982 41.761780 77.500553
    Unten rechts KachelX + 1 80742 KachelY + 1 19398 0.72892850 1.35263982 41.764527 77.500553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35265020-1.35263982) × R
    1.03799999999765e-05 × 6371000     		dl = 66.1309799998504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35265020-1.35263982) × R
    1.03799999999765e-05 × 6371000     		dr = 66.1309799998504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72888056-0.72892850) × cos(1.35265020) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216420058974263 × 6371000     		do = 66.1002566630147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72888056-0.72892850) × cos(1.35263982) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216430192960156 × 6371000     		du = 66.103351843155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35265020)-sin(1.35263982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216420058974263-0.216430192960156)×R²
    abs(0.72892850-0.72888056)×1.01339858922522e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01339858922522e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01339858922522e-05×40589641000000     		ar = 4371.37709505664m²