Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8074 / 9429
↖ ↑ ↗
← S 26.214591°
W  2.592773°		 ← 2 191.92 m → S 26.214591°
W  2.570801°		 →
↑
2 191.75 m
↓
↑
2 191.75 m
↓
S 26.234302°
W  2.592773°		 ← 2 191.55 m →
4 803 737 m²		 S 26.234302°
W  2.570801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492828369140625 y=0.575531005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492828369140625 × 214)
    floor (0.492828369140625 × 16384)
    floor (8074.5)     		tx = 8074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575531005859375 × 214)
    floor (0.575531005859375 × 16384)
    floor (9429.5)     		ty = 9429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8074 / 9429 ti = "14/8074/9429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8074/9429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8074 ÷ 214
    8074 ÷ 16384     		x = 0.4927978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9429 ÷ 214
    9429 ÷ 16384     		y = 0.57550048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4927978515625 × 2 - 1) × π
    -0.014404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04525243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57550048828125 × 2 - 1) × π
    -0.1510009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.474383558640076
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04525243} λ = -0.04525243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.474383558640076))-π/2
    2×atan(0.622268530317372)-π/2
    2×0.55663270068905-π/2
    1.1132654013781-1.57079632675     		φ = -0.45753093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04525243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.592773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45753093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.214591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8074 KachelY 9429 -0.04525243 -0.45753093 -2.592773 -26.214591
    Oben rechts KachelX + 1 8075 KachelY 9429 -0.04486894 -0.45753093 -2.570801 -26.214591
    Unten links KachelX 8074 KachelY + 1 9430 -0.04525243 -0.45787495 -2.592773 -26.234302
    Unten rechts KachelX + 1 8075 KachelY + 1 9430 -0.04486894 -0.45787495 -2.570801 -26.234302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45753093--0.45787495) × R
    0.00034402 × 6371000     		dl = 2191.75142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45753093--0.45787495) × R
    0.00034402 × 6371000     		dr = 2191.75142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04525243--0.04486894) × cos(-0.45753093) × R
    0.00038349 × 0.897145904060239 × 6371000     		do = 2191.9201415879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04525243--0.04486894) × cos(-0.45787495) × R
    0.00038349 × 0.896993885527208 × 6371000     		du = 2191.54872765964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45753093)-sin(-0.45787495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897145904060239-0.896993885527208)×R²
    abs(-0.04486894--0.04525243)×0.000152018533030596×R²
    0.00038349×0.000152018533030596×6371000²
    0.00038349×0.000152018533030596×40589641000000     		ar = 4803737.10672562m²