Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8074 / 3441
↖ ↑ ↗
← N 71.629069°
W  2.592773°		 ← 770.02 m → N 71.629069°
W  2.570801°		 →
↑
770.19 m
↓
↑
770.19 m
↓
N 71.622143°
W  2.592773°		 ← 770.30 m →
593 171 m²		 N 71.622143°
W  2.570801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492828369140625 y=0.210052490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492828369140625 × 214)
    floor (0.492828369140625 × 16384)
    floor (8074.5)     		tx = 8074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210052490234375 × 214)
    floor (0.210052490234375 × 16384)
    floor (3441.5)     		ty = 3441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8074 / 3441 ti = "14/8074/3441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8074/3441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8074 ÷ 214
    8074 ÷ 16384     		x = 0.4927978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3441 ÷ 214
    3441 ÷ 16384     		y = 0.21002197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4927978515625 × 2 - 1) × π
    -0.014404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04525243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21002197265625 × 2 - 1) × π
    0.5799560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.82198568075909
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04525243} λ = -0.04525243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82198568075909))-π/2
    2×atan(6.18412596610998)-π/2
    2×1.41047971113259-π/2
    2.82095942226517-1.57079632675     		φ = 1.25016310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04525243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.592773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25016310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.629069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8074 KachelY 3441 -0.04525243 1.25016310 -2.592773 71.629069
    Oben rechts KachelX + 1 8075 KachelY 3441 -0.04486894 1.25016310 -2.570801 71.629069
    Unten links KachelX 8074 KachelY + 1 3442 -0.04525243 1.25004221 -2.592773 71.622143
    Unten rechts KachelX + 1 8075 KachelY + 1 3442 -0.04486894 1.25004221 -2.570801 71.622143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25016310-1.25004221) × R
    0.00012089000000004 × 6371000     		dl = 770.190190000256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25016310-1.25004221) × R
    0.00012089000000004 × 6371000     		dr = 770.190190000256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04525243--0.04486894) × cos(1.25016310) × R
    0.00038349 × 0.315167578810497 × 6371000     		do = 770.022089878297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04525243--0.04486894) × cos(1.25004221) × R
    0.00038349 × 0.315282305473595 × 6371000     		du = 770.302391758386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25016310)-sin(1.25004221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315167578810497-0.315282305473595)×R²
    abs(-0.04486894--0.04525243)×0.000114726663098419×R²
    0.00038349×0.000114726663098419×6371000²
    0.00038349×0.000114726663098419×40589641000000     		ar = 593171.403310074m²