Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80732 / 19468
↖ ↑ ↗
← N 77.458874°
E 41.737061°		 ← 66.31 m → N 77.458874°
E 41.739807°		 →
↑
66.32 m
↓
↑
66.32 m
↓
N 77.458277°
E 41.737061°		 ← 66.31 m →
4 398 m²		 N 77.458277°
E 41.739807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.615940093994141 y=0.148532867431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.615940093994141 × 217)
    floor (0.615940093994141 × 131072)
    floor (80732.5)     		tx = 80732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148532867431641 × 217)
    floor (0.148532867431641 × 131072)
    floor (19468.5)     		ty = 19468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80732 / 19468 ti = "17/80732/19468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80732/19468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80732 ÷ 217
    80732 ÷ 131072     		x = 0.615936279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19468 ÷ 217
    19468 ÷ 131072     		y = 0.148529052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.615936279296875 × 2 - 1) × π
    0.23187255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.72844913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148529052734375 × 2 - 1) × π
    0.70294189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20835709169675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72844913} λ = 0.72844913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20835709169675))-π/2
    2×atan(9.10075240248608)-π/2
    2×1.46135435439883-π/2
    2.92270870879766-1.57079632675     		φ = 1.35191238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72844913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.737061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35191238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.458874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80732 KachelY 19468 0.72844913 1.35191238 41.737061 77.458874
    Oben rechts KachelX + 1 80733 KachelY 19468 0.72849706 1.35191238 41.739807 77.458874
    Unten links KachelX 80732 KachelY + 1 19469 0.72844913 1.35190197 41.737061 77.458277
    Unten rechts KachelX + 1 80733 KachelY + 1 19469 0.72849706 1.35190197 41.739807 77.458277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35191238-1.35190197) × R
    1.04100000000162e-05 × 6371000     		dl = 66.3221100001035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35191238-1.35190197) × R
    1.04100000000162e-05 × 6371000     		dr = 66.3221100001035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72844913-0.72849706) × cos(1.35191238) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217140333920155 × 6371000     		do = 66.3064131607769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72844913-0.72849706) × cos(1.35190197) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217150495529926 × 6371000     		du = 66.3095161305646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35191238)-sin(1.35190197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217140333920155-0.217150495529926)×R²
    abs(0.72849706-0.72844913)×1.01616097709367e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01616097709367e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01616097709367e-05×40589641000000     		ar = 4397.68412509169m²