Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80730 / 19512
↖ ↑ ↗
← N 77.432605°
E 41.731567°		 ← 66.46 m → N 77.432605°
E 41.734314°		 →
↑
66.45 m
↓
↑
66.45 m
↓
N 77.432008°
E 41.731567°		 ← 66.46 m →
4 416 m²		 N 77.432008°
E 41.734314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.615924835205078 y=0.148868560791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.615924835205078 × 217)
    floor (0.615924835205078 × 131072)
    floor (80730.5)     		tx = 80730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148868560791016 × 217)
    floor (0.148868560791016 × 131072)
    floor (19512.5)     		ty = 19512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80730 / 19512 ti = "17/80730/19512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80730/19512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80730 ÷ 217
    80730 ÷ 131072     		x = 0.615921020507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19512 ÷ 217
    19512 ÷ 131072     		y = 0.14886474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.615921020507812 × 2 - 1) × π
    0.231842041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.72835325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14886474609375 × 2 - 1) × π
    0.7022705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20624786811346
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72835325} λ = 0.72835325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20624786811346))-π/2
    2×atan(9.08157711049115)-π/2
    2×1.46112511974788-π/2
    2.92225023949575-1.57079632675     		φ = 1.35145391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72835325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.731567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35145391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.432605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80730 KachelY 19512 0.72835325 1.35145391 41.731567 77.432605
    Oben rechts KachelX + 1 80731 KachelY 19512 0.72840119 1.35145391 41.734314 77.432605
    Unten links KachelX 80730 KachelY + 1 19513 0.72835325 1.35144348 41.731567 77.432008
    Unten rechts KachelX + 1 80731 KachelY + 1 19513 0.72840119 1.35144348 41.734314 77.432008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35145391-1.35144348) × R
    1.04300000001167e-05 × 6371000     		dl = 66.4495300007437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35145391-1.35144348) × R
    1.04300000001167e-05 × 6371000     		dr = 66.4495300007437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72835325-0.72840119) × cos(1.35145391) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.217587842171583 × 6371000     		do = 66.4569277103692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72835325-0.72840119) × cos(1.35144348) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.217598022264691 × 6371000     		du = 66.4600369728402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35145391)-sin(1.35144348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217587842171583-0.217598022264691)×R²
    abs(0.72840119-0.72835325)×1.01800931086304e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.01800931086304e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.01800931086304e-05×40589641000000     		ar = 4416.13491615758m²