Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8073 / 3454
↖ ↑ ↗
← N 71.538830°
W  2.614746°		 ← 773.69 m → N 71.538830°
W  2.592773°		 →
↑
773.82 m
↓
↑
773.82 m
↓
N 71.531870°
W  2.614746°		 ← 773.97 m →
598 809 m²		 N 71.531870°
W  2.592773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492767333984375 y=0.210845947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492767333984375 × 214)
    floor (0.492767333984375 × 16384)
    floor (8073.5)     		tx = 8073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210845947265625 × 214)
    floor (0.210845947265625 × 16384)
    floor (3454.5)     		ty = 3454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8073 / 3454 ti = "14/8073/3454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8073/3454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8073 ÷ 214
    8073 ÷ 16384     		x = 0.49273681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3454 ÷ 214
    3454 ÷ 16384     		y = 0.2108154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49273681640625 × 2 - 1) × π
    -0.0145263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04563593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2108154296875 × 2 - 1) × π
    0.578369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.81700024319861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04563593} λ = -0.04563593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81700024319861))-π/2
    2×atan(6.15337211663574)-π/2
    2×1.40969222583452-π/2
    2.81938445166903-1.57079632675     		φ = 1.24858812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04563593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.614746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24858812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.538830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8073 KachelY 3454 -0.04563593 1.24858812 -2.614746 71.538830
    Oben rechts KachelX + 1 8074 KachelY 3454 -0.04525243 1.24858812 -2.592773 71.538830
    Unten links KachelX 8073 KachelY + 1 3455 -0.04563593 1.24846666 -2.614746 71.531870
    Unten rechts KachelX + 1 8074 KachelY + 1 3455 -0.04525243 1.24846666 -2.592773 71.531870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24858812-1.24846666) × R
    0.000121459999999907 × 6371000     		dl = 773.821659999405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24858812-1.24846666) × R
    0.000121459999999907 × 6371000     		dr = 773.821659999405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04563593--0.04525243) × cos(1.24858812) × R
    0.000383499999999995 × 0.316661900071944 × 6371000     		do = 773.693212214919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04563593--0.04525243) × cos(1.24846666) × R
    0.000383499999999995 × 0.316777107219211 × 6371000     		du = 773.974695360883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24858812)-sin(1.24846666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316661900071944-0.316777107219211)×R²
    abs(-0.04525243--0.04563593)×0.000115207147267093×R²
    0.000383499999999995×0.000115207147267093×6371000²
    0.000383499999999995×0.000115207147267093×40589641000000     		ar = 598809.475419834m²