Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80708 / 19641
↖ ↑ ↗
← N 77.355279°
E 41.671143°		 ← 66.86 m → N 77.355279°
E 41.673889°		 →
↑
66.83 m
↓
↑
66.83 m
↓
N 77.354678°
E 41.671143°		 ← 66.86 m →
4 468 m²		 N 77.354678°
E 41.673889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.615756988525391 y=0.149852752685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.615756988525391 × 217)
    floor (0.615756988525391 × 131072)
    floor (80708.5)     		tx = 80708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149852752685547 × 217)
    floor (0.149852752685547 × 131072)
    floor (19641.5)     		ty = 19641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80708 / 19641 ti = "17/80708/19641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80708/19641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80708 ÷ 217
    80708 ÷ 131072     		x = 0.615753173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19641 ÷ 217
    19641 ÷ 131072     		y = 0.149848937988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.615753173828125 × 2 - 1) × π
    0.23150634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.72729864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149848937988281 × 2 - 1) × π
    0.700302124023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.20006400806248
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72729864} λ = 0.72729864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20006400806248))-π/2
    2×atan(9.02559119155033)-π/2
    2×1.46045031917944-π/2
    2.92090063835888-1.57079632675     		φ = 1.35010431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72729864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.671143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35010431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.355279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80708 KachelY 19641 0.72729864 1.35010431 41.671143 77.355279
    Oben rechts KachelX + 1 80709 KachelY 19641 0.72734658 1.35010431 41.673889 77.355279
    Unten links KachelX 80708 KachelY + 1 19642 0.72729864 1.35009382 41.671143 77.354678
    Unten rechts KachelX + 1 80709 KachelY + 1 19642 0.72734658 1.35009382 41.673889 77.354678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35010431-1.35009382) × R
    1.04900000001962e-05 × 6371000     		dl = 66.8317900012498m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35010431-1.35009382) × R
    1.04900000001962e-05 × 6371000     		dr = 66.8317900012498m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72729864-0.72734658) × cos(1.35010431) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.218904908198312 × 6371000     		do = 66.8591935760576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72729864-0.72734658) × cos(1.35009382) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.218915143763875 × 6371000     		du = 66.8623197812441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35010431)-sin(1.35009382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218904908198312-0.218915143763875)×R²
    abs(0.72734658-0.72729864)×1.02355655634823e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02355655634823e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02355655634823e-05×40589641000000     		ar = 4468.4240498199m²