Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80706 / 19645
↖ ↑ ↗
← N 77.352874°
E 41.665650°		 ← 66.86 m → N 77.352874°
E 41.668396°		 →
↑
66.83 m
↓
↑
66.83 m
↓
N 77.352273°
E 41.665650°		 ← 66.86 m →
4 468 m²		 N 77.352273°
E 41.668396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.615741729736328 y=0.149883270263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.615741729736328 × 217)
    floor (0.615741729736328 × 131072)
    floor (80706.5)     		tx = 80706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149883270263672 × 217)
    floor (0.149883270263672 × 131072)
    floor (19645.5)     		ty = 19645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80706 / 19645 ti = "17/80706/19645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80706/19645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80706 ÷ 217
    80706 ÷ 131072     		x = 0.615737915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19645 ÷ 217
    19645 ÷ 131072     		y = 0.149879455566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.615737915039062 × 2 - 1) × π
    0.231475830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.72720277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149879455566406 × 2 - 1) × π
    0.700241088867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.199872260464
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72720277} λ = 0.72720277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.199872260464))-π/2
    2×atan(9.02386072202648)-π/2
    2×1.46042932997092-π/2
    2.92085865994185-1.57079632675     		φ = 1.35006233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72720277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.665650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35006233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.352874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80706 KachelY 19645 0.72720277 1.35006233 41.665650 77.352874
    Oben rechts KachelX + 1 80707 KachelY 19645 0.72725070 1.35006233 41.668396 77.352874
    Unten links KachelX 80706 KachelY + 1 19646 0.72720277 1.35005184 41.665650 77.352273
    Unten rechts KachelX + 1 80707 KachelY + 1 19646 0.72725070 1.35005184 41.668396 77.352273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35006233-1.35005184) × R
    1.04900000001962e-05 × 6371000     		dl = 66.8317900012498m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35006233-1.35005184) × R
    1.04900000001962e-05 × 6371000     		dr = 66.8317900012498m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72720277-0.72725070) × cos(1.35006233) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.218945869830764 × 6371000     		do = 66.8577552716787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72720277-0.72725070) × cos(1.35005184) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.218956105299917 × 6371000     		du = 66.8608807953173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35006233)-sin(1.35005184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218945869830764-0.218956105299917)×R²
    abs(0.72725070-0.72720277)×1.02354691530193e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.02354691530193e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.02354691530193e-05×40589641000000     		ar = 4468.32790246059m²