Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80706 / 19522
↖ ↑ ↗
← N 77.426628°
E 41.665650°		 ← 66.47 m → N 77.426628°
E 41.668396°		 →
↑
66.45 m
↓
↑
66.45 m
↓
N 77.426030°
E 41.665650°		 ← 66.48 m →
4 417 m²		 N 77.426030°
E 41.668396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.615741729736328 y=0.148944854736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.615741729736328 × 217)
    floor (0.615741729736328 × 131072)
    floor (80706.5)     		tx = 80706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148944854736328 × 217)
    floor (0.148944854736328 × 131072)
    floor (19522.5)     		ty = 19522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80706 / 19522 ti = "17/80706/19522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80706/19522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80706 ÷ 217
    80706 ÷ 131072     		x = 0.615737915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19522 ÷ 217
    19522 ÷ 131072     		y = 0.148941040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.615737915039062 × 2 - 1) × π
    0.231475830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.72720277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148941040039062 × 2 - 1) × π
    0.702117919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.20576849911726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72720277} λ = 0.72720277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20576849911726))-π/2
    2×atan(9.07722472726991)-π/2
    2×1.46107295511332-π/2
    2.92214591022664-1.57079632675     		φ = 1.35134958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72720277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.665650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35134958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.426628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80706 KachelY 19522 0.72720277 1.35134958 41.665650 77.426628
    Oben rechts KachelX + 1 80707 KachelY 19522 0.72725070 1.35134958 41.668396 77.426628
    Unten links KachelX 80706 KachelY + 1 19523 0.72720277 1.35133915 41.665650 77.426030
    Unten rechts KachelX + 1 80707 KachelY + 1 19523 0.72725070 1.35133915 41.668396 77.426030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35134958-1.35133915) × R
    1.04299999998947e-05 × 6371000     		dl = 66.4495299993291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35134958-1.35133915) × R
    1.04299999998947e-05 × 6371000     		dr = 66.4495299993291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72720277-0.72725070) × cos(1.35134958) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217689671317864 × 6371000     		do = 66.4741599436965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72720277-0.72725070) × cos(1.35133915) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217699851174141 × 6371000     		du = 66.4772684852743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35134958)-sin(1.35133915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217689671317864-0.217699851174141)×R²
    abs(0.72725070-0.72720277)×1.01798562766875e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01798562766875e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01798562766875e-05×40589641000000     		ar = 4417.27996601002m²