Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80704 / 19646
↖ ↑ ↗
← N 77.352273°
E 41.660156°		 ← 66.87 m → N 77.352273°
E 41.662903°		 →
↑
66.90 m
↓
↑
66.90 m
↓
N 77.351671°
E 41.660156°		 ← 66.88 m →
4 474 m²		 N 77.351671°
E 41.662903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.615726470947266 y=0.149890899658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.615726470947266 × 217)
    floor (0.615726470947266 × 131072)
    floor (80704.5)     		tx = 80704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149890899658203 × 217)
    floor (0.149890899658203 × 131072)
    floor (19646.5)     		ty = 19646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80704 / 19646 ti = "17/80704/19646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80704/19646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80704 ÷ 217
    80704 ÷ 131072     		x = 0.61572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19646 ÷ 217
    19646 ÷ 131072     		y = 0.149887084960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61572265625 × 2 - 1) × π
    0.2314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.72710689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149887084960938 × 2 - 1) × π
    0.700225830078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19982432356438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72710689} λ = 0.72710689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19982432356438))-π/2
    2×atan(9.02342815648887)-π/2
    2×1.46042408205517-π/2
    2.92084816411035-1.57079632675     		φ = 1.35005184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72710689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.660156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35005184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.352273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80704 KachelY 19646 0.72710689 1.35005184 41.660156 77.352273
    Oben rechts KachelX + 1 80705 KachelY 19646 0.72715483 1.35005184 41.662903 77.352273
    Unten links KachelX 80704 KachelY + 1 19647 0.72710689 1.35004134 41.660156 77.351671
    Unten rechts KachelX + 1 80705 KachelY + 1 19647 0.72715483 1.35004134 41.662903 77.351671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35005184-1.35004134) × R
    1.04999999999134e-05 × 6371000     		dl = 66.895499999448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35005184-1.35004134) × R
    1.04999999999134e-05 × 6371000     		dr = 66.895499999448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72710689-0.72715483) × cos(1.35005184) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.218956105299917 × 6371000     		do = 66.8748304888561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72710689-0.72715483) × cos(1.35004134) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.2189663505023 × 6371000     		du = 66.8779596373753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35005184)-sin(1.35004134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218956105299917-0.2189663505023)×R²
    abs(0.72715483-0.72710689)×1.0245202382908e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.0245202382908e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.0245202382908e-05×40589641000000     		ar = 4473.72988593075m²