Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80702 / 19513
↖ ↑ ↗
← N 77.432008°
E 41.654663°		 ← 66.46 m → N 77.432008°
E 41.657410°		 →
↑
66.45 m
↓
↑
66.45 m
↓
N 77.431410°
E 41.654663°		 ← 66.46 m →
4 416 m²		 N 77.431410°
E 41.657410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.615711212158203 y=0.148876190185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.615711212158203 × 217)
    floor (0.615711212158203 × 131072)
    floor (80702.5)     		tx = 80702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148876190185547 × 217)
    floor (0.148876190185547 × 131072)
    floor (19513.5)     		ty = 19513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80702 / 19513 ti = "17/80702/19513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80702/19513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80702 ÷ 217
    80702 ÷ 131072     		x = 0.615707397460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19513 ÷ 217
    19513 ÷ 131072     		y = 0.148872375488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.615707397460938 × 2 - 1) × π
    0.231414794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.72701102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148872375488281 × 2 - 1) × π
    0.702255249023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.20619993121384
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72701102} λ = 0.72701102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20619993121384))-π/2
    2×atan(9.08114177827513)-π/2
    2×1.46111990438266-π/2
    2.92223980876531-1.57079632675     		φ = 1.35144348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72701102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.654663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35144348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.432008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80702 KachelY 19513 0.72701102 1.35144348 41.654663 77.432008
    Oben rechts KachelX + 1 80703 KachelY 19513 0.72705896 1.35144348 41.657410 77.432008
    Unten links KachelX 80702 KachelY + 1 19514 0.72701102 1.35143305 41.654663 77.431410
    Unten rechts KachelX + 1 80703 KachelY + 1 19514 0.72705896 1.35143305 41.657410 77.431410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35144348-1.35143305) × R
    1.04299999998947e-05 × 6371000     		dl = 66.4495299993291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35144348-1.35143305) × R
    1.04299999998947e-05 × 6371000     		dr = 66.4495299993291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72701102-0.72705896) × cos(1.35144348) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.217598022264691 × 6371000     		do = 66.4600369728402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72701102-0.72705896) × cos(1.35143305) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.217608202334128 × 6371000     		du = 66.4631462280812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35144348)-sin(1.35143305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217598022264691-0.217608202334128)×R²
    abs(0.72705896-0.72701102)×1.0180069437038e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.0180069437038e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.0180069437038e-05×40589641000000     		ar = 4416.34152502642m²