Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80697 / 19545
↖ ↑ ↗
← N 77.412869°
E 41.640930°		 ← 66.55 m → N 77.412869°
E 41.643677°		 →
↑
66.58 m
↓
↑
66.58 m
↓
N 77.412270°
E 41.640930°		 ← 66.55 m →
4 431 m²		 N 77.412270°
E 41.643677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.615673065185547 y=0.149120330810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.615673065185547 × 217)
    floor (0.615673065185547 × 131072)
    floor (80697.5)     		tx = 80697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149120330810547 × 217)
    floor (0.149120330810547 × 131072)
    floor (19545.5)     		ty = 19545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80697 / 19545 ti = "17/80697/19545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80697/19545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80697 ÷ 217
    80697 ÷ 131072     		x = 0.615669250488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19545 ÷ 217
    19545 ÷ 131072     		y = 0.149116516113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.615669250488281 × 2 - 1) × π
    0.231338500976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.72677134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149116516113281 × 2 - 1) × π
    0.701766967773438 × 3.1415926535     		Φ = 2.204665950426
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72677134} λ = 0.72677134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.204665950426))-π/2
    2×atan(9.06722216019846)-π/2
    2×1.46095288379198-π/2
    2.92190576758396-1.57079632675     		φ = 1.35110944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72677134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.640930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35110944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.412869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80697 KachelY 19545 0.72677134 1.35110944 41.640930 77.412869
    Oben rechts KachelX + 1 80698 KachelY 19545 0.72681927 1.35110944 41.643677 77.412869
    Unten links KachelX 80697 KachelY + 1 19546 0.72677134 1.35109899 41.640930 77.412270
    Unten rechts KachelX + 1 80698 KachelY + 1 19546 0.72681927 1.35109899 41.643677 77.412270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35110944-1.35109899) × R
    1.04499999999952e-05 × 6371000     		dl = 66.5769499999693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35110944-1.35109899) × R
    1.04499999999952e-05 × 6371000     		dr = 66.5769499999693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72677134-0.72681927) × cos(1.35110944) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217924046010047 × 6371000     		do = 66.5457290754821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72677134-0.72681927) × cos(1.35109899) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217934244840048 × 6371000     		du = 66.5488434109149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35110944)-sin(1.35109899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217924046010047-0.217934244840048)×R²
    abs(0.72681927-0.72677134)×1.01988300009737e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01988300009737e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01988300009737e-05×40589641000000     		ar = 4430.51534886968m²