Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80696 / 19640
↖ ↑ ↗
← N 77.355880°
E 41.638184°		 ← 66.86 m → N 77.355880°
E 41.640930°		 →
↑
66.83 m
↓
↑
66.83 m
↓
N 77.355279°
E 41.638184°		 ← 66.86 m →
4 468 m²		 N 77.355279°
E 41.640930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.615665435791016 y=0.149845123291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.615665435791016 × 217)
    floor (0.615665435791016 × 131072)
    floor (80696.5)     		tx = 80696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149845123291016 × 217)
    floor (0.149845123291016 × 131072)
    floor (19640.5)     		ty = 19640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80696 / 19640 ti = "17/80696/19640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80696/19640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80696 ÷ 217
    80696 ÷ 131072     		x = 0.61566162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19640 ÷ 217
    19640 ÷ 131072     		y = 0.14984130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61566162109375 × 2 - 1) × π
    0.2313232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.72672340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14984130859375 × 2 - 1) × π
    0.7003173828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2001119449621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72672340} λ = 0.72672340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2001119449621))-π/2
    2×atan(9.02602386077962)-π/2
    2×1.460455565868-π/2
    2.92091113173601-1.57079632675     		φ = 1.35011480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72672340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.638184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35011480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.355880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80696 KachelY 19640 0.72672340 1.35011480 41.638184 77.355880
    Oben rechts KachelX + 1 80697 KachelY 19640 0.72677134 1.35011480 41.640930 77.355880
    Unten links KachelX 80696 KachelY + 1 19641 0.72672340 1.35010431 41.638184 77.355279
    Unten rechts KachelX + 1 80697 KachelY + 1 19641 0.72677134 1.35010431 41.640930 77.355279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35011480-1.35010431) × R
    1.04899999999741e-05 × 6371000     		dl = 66.8317899998352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35011480-1.35010431) × R
    1.04899999999741e-05 × 6371000     		dr = 66.8317899998352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72672340-0.72677134) × cos(1.35011480) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21889467260866 × 6371000     		do = 66.8560673635139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72672340-0.72677134) × cos(1.35010431) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.218904908198312 × 6371000     		du = 66.8591935760576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35011480)-sin(1.35010431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21889467260866-0.218904908198312)×R²
    abs(0.72677134-0.72672340)×1.02355896516027e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02355896516027e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02355896516027e-05×40589641000000     		ar = 4468.21511944241m²