Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80696 / 19543
↖ ↑ ↗
← N 77.414065°
E 41.638184°		 ← 66.55 m → N 77.414065°
E 41.640930°		 →
↑
66.51 m
↓
↑
66.51 m
↓
N 77.413467°
E 41.638184°		 ← 66.56 m →
4 427 m²		 N 77.413467°
E 41.640930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.615665435791016 y=0.149105072021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.615665435791016 × 217)
    floor (0.615665435791016 × 131072)
    floor (80696.5)     		tx = 80696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149105072021484 × 217)
    floor (0.149105072021484 × 131072)
    floor (19543.5)     		ty = 19543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80696 / 19543 ti = "17/80696/19543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80696/19543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80696 ÷ 217
    80696 ÷ 131072     		x = 0.61566162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19543 ÷ 217
    19543 ÷ 131072     		y = 0.149101257324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61566162109375 × 2 - 1) × π
    0.2313232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.72672340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149101257324219 × 2 - 1) × π
    0.701797485351562 × 3.1415926535     		Φ = 2.20476182422524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72672340} λ = 0.72672340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20476182422524))-π/2
    2×atan(9.06809151090882)-π/2
    2×1.46096332990633-π/2
    2.92192665981267-1.57079632675     		φ = 1.35113033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72672340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.638184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35113033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.414065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80696 KachelY 19543 0.72672340 1.35113033 41.638184 77.414065
    Oben rechts KachelX + 1 80697 KachelY 19543 0.72677134 1.35113033 41.640930 77.414065
    Unten links KachelX 80696 KachelY + 1 19544 0.72672340 1.35111989 41.638184 77.413467
    Unten rechts KachelX + 1 80697 KachelY + 1 19544 0.72677134 1.35111989 41.640930 77.413467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35113033-1.35111989) × R
    1.04399999998339e-05 × 6371000     		dl = 66.5132399989419m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35113033-1.35111989) × R
    1.04399999998339e-05 × 6371000     		dr = 66.5132399989419m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72672340-0.72677134) × cos(1.35113033) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217903658038356 × 6371000     		do = 66.5533860050281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72672340-0.72677134) × cos(1.35111989) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217913847156248 × 6371000     		du = 66.5564980239004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35113033)-sin(1.35111989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217903658038356-0.217913847156248)×R²
    abs(0.72677134-0.72672340)×1.01891178925784e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01891178925784e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01891178925784e-05×40589641000000     		ar = 4426.78483123907m²