Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80693 / 19683
↖ ↑ ↗
← N 77.330002°
E 41.629944°		 ← 66.98 m → N 77.330002°
E 41.632690°		 →
↑
67.02 m
↓
↑
67.02 m
↓
N 77.329400°
E 41.629944°		 ← 66.98 m →
4 489 m²		 N 77.329400°
E 41.632690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.615642547607422 y=0.150173187255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.615642547607422 × 217)
    floor (0.615642547607422 × 131072)
    floor (80693.5)     		tx = 80693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150173187255859 × 217)
    floor (0.150173187255859 × 131072)
    floor (19683.5)     		ty = 19683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80693 / 19683 ti = "17/80693/19683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80693/19683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80693 ÷ 217
    80693 ÷ 131072     		x = 0.615638732910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19683 ÷ 217
    19683 ÷ 131072     		y = 0.150169372558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.615638732910156 × 2 - 1) × π
    0.231277465820312 × 3.1415926535     		Λ = 0.72657959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150169372558594 × 2 - 1) × π
    0.699661254882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.19805065827843
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72657959} λ = 0.72657959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19805065827843))-π/2
    2×atan(9.00743780016946)-π/2
    2×1.46022973651489-π/2
    2.92045947302978-1.57079632675     		φ = 1.34966315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72657959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.629944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34966315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.330002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80693 KachelY 19683 0.72657959 1.34966315 41.629944 77.330002
    Oben rechts KachelX + 1 80694 KachelY 19683 0.72662752 1.34966315 41.632690 77.330002
    Unten links KachelX 80693 KachelY + 1 19684 0.72657959 1.34965263 41.629944 77.329400
    Unten rechts KachelX + 1 80694 KachelY + 1 19684 0.72662752 1.34965263 41.632690 77.329400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34966315-1.34965263) × R
    1.05200000000139e-05 × 6371000     		dl = 67.0229200000882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34966315-1.34965263) × R
    1.05200000000139e-05 × 6371000     		dr = 67.0229200000882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72657959-0.72662752) × cos(1.34966315) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.219335347074793 × 6371000     		do = 66.9766868333992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72657959-0.72662752) × cos(1.34965263) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.219345610895712 × 6371000     		du = 66.9798210145906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34966315)-sin(1.34965263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219335347074793-0.219345610895712)×R²
    abs(0.72662752-0.72657959)×1.02638209191763e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.02638209191763e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.02638209191763e-05×40589641000000     		ar = 4489.07815450763m²