Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80692 / 19682
↖ ↑ ↗
← N 77.330604°
E 41.627197°		 ← 66.99 m → N 77.330604°
E 41.629944°		 →
↑
66.96 m
↓
↑
66.96 m
↓
N 77.330002°
E 41.627197°		 ← 66.99 m →
4 486 m²		 N 77.330002°
E 41.629944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.615634918212891 y=0.150165557861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.615634918212891 × 217)
    floor (0.615634918212891 × 131072)
    floor (80692.5)     		tx = 80692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150165557861328 × 217)
    floor (0.150165557861328 × 131072)
    floor (19682.5)     		ty = 19682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80692 / 19682 ti = "17/80692/19682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80692/19682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80692 ÷ 217
    80692 ÷ 131072     		x = 0.615631103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19682 ÷ 217
    19682 ÷ 131072     		y = 0.150161743164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.615631103515625 × 2 - 1) × π
    0.23126220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.72653165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150161743164062 × 2 - 1) × π
    0.699676513671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19809859517805
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72653165} λ = 0.72653165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19809859517805))-π/2
    2×atan(9.00786959916059)-π/2
    2×1.4602349935203-π/2
    2.9204699870406-1.57079632675     		φ = 1.34967366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72653165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.627197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34967366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.330604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80692 KachelY 19682 0.72653165 1.34967366 41.627197 77.330604
    Oben rechts KachelX + 1 80693 KachelY 19682 0.72657959 1.34967366 41.629944 77.330604
    Unten links KachelX 80692 KachelY + 1 19683 0.72653165 1.34966315 41.627197 77.330002
    Unten rechts KachelX + 1 80693 KachelY + 1 19683 0.72657959 1.34966315 41.629944 77.330002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34967366-1.34966315) × R
    1.05100000000746e-05 × 6371000     		dl = 66.9592100004755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34967366-1.34966315) × R
    1.05100000000746e-05 × 6371000     		dr = 66.9592100004755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72653165-0.72657959) × cos(1.34967366) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.219325092986118 × 6371000     		do = 66.9875288259652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72653165-0.72657959) × cos(1.34966315) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.219335347074793 × 6371000     		du = 66.9906606885867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34967366)-sin(1.34966315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219325092986118-0.219335347074793)×R²
    abs(0.72657959-0.72653165)×1.02540886748048e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.02540886748048e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.02540886748048e-05×40589641000000     		ar = 4485.53686374613m²