Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80686 / 19670
↖ ↑ ↗
← N 77.337831°
E 41.610718°		 ← 66.95 m → N 77.337831°
E 41.613465°		 →
↑
66.96 m
↓
↑
66.96 m
↓
N 77.337229°
E 41.610718°		 ← 66.95 m →
4 483 m²		 N 77.337229°
E 41.613465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.615589141845703 y=0.150074005126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.615589141845703 × 217)
    floor (0.615589141845703 × 131072)
    floor (80686.5)     		tx = 80686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150074005126953 × 217)
    floor (0.150074005126953 × 131072)
    floor (19670.5)     		ty = 19670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80686 / 19670 ti = "17/80686/19670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80686/19670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80686 ÷ 217
    80686 ÷ 131072     		x = 0.615585327148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19670 ÷ 217
    19670 ÷ 131072     		y = 0.150070190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.615585327148438 × 2 - 1) × π
    0.231170654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.72624403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150070190429688 × 2 - 1) × π
    0.699859619140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1986738379735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72624403} λ = 0.72624403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1986738379735))-π/2
    2×atan(9.01305280190686)-π/2
    2×1.46029805841104-π/2
    2.92059611682209-1.57079632675     		φ = 1.34979979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72624403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.610718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34979979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.337831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80686 KachelY 19670 0.72624403 1.34979979 41.610718 77.337831
    Oben rechts KachelX + 1 80687 KachelY 19670 0.72629197 1.34979979 41.613465 77.337831
    Unten links KachelX 80686 KachelY + 1 19671 0.72624403 1.34978928 41.610718 77.337229
    Unten rechts KachelX + 1 80687 KachelY + 1 19671 0.72629197 1.34978928 41.613465 77.337229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34979979-1.34978928) × R
    1.05100000000746e-05 × 6371000     		dl = 66.9592100004755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34979979-1.34978928) × R
    1.05100000000746e-05 × 6371000     		dr = 66.9592100004755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72624403-0.72629197) × cos(1.34979979) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21920203227587 × 6371000     		do = 66.9499429173176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72624403-0.72629197) × cos(1.34978928) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219212286655213 × 6371000     		du = 66.9530748687167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34979979)-sin(1.34978928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21920203227587-0.219212286655213)×R²
    abs(0.72629197-0.72624403)×1.02543793431553e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02543793431553e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02543793431553e-05×40589641000000     		ar = 4483.02014399205m²